Зведення визначників до визначника Вандермонда

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Разное


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Реферат на тему:

Зведення визначників до визначника Вандермонда

Визначником Вандермонда порядку n називається визначник вигляду

.

Як відомо,

.

Розглянемо приклади зведення визначників до визначника Вандермонда.

Приклад 19. Обчислити визначник

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у другому рядку n елементів). Додамо до другого рядка перший:

.

Далі, в одержаному визначнику до третього рядка додамо другий:

.

Аналогічно, до четвертого рядка додамо третій. В одержаному після цього визначнику до п’ятого рядка додамо четвертий і т.д. В результаті, після додавання до n-го рядка (n-1)-го одержуємо визначник

.

Цей визначник є визначником Вандермонда порядку n, а тому

Приклад 20. Обчислити визначник

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n +1 (у першому рядку n +1 елементів). Якщо всі рядки визначника записати у зворотному порядку, одержимо визначник Вандермонда порядку n +1. Для обчислення даного визначника будемо переставляти рядки. Як відомо, кожна перестановка двох рядків змінює знак визначника, що означає помноження визначника на -1. Спочатку будемо переставляти останній рядок визначника так, щоб винести його на перше місце і при цьому не міняти взаємне розміщення інших рядків. Для цього переставимо (n +1)-й рядок з n-м, знак визначника змінюється:

.

Далі, у цьому визначнику n-й рядок переставляється з (n -1)-м и т. д. В результаті, після виконання n таких сусідніх перестановок рядків одержуємо

.

Далі, в одержаному визначнику переставляємо останній рядок так, щоб винести його на друге місце, не змінюючи взаємне розміщення інших рядків. Для цього потрібно n -1 сусідніх перестановок рядків, тобто

.

В одержаному визначнику, аналогічно, останній рядок переставляємо на 3 місце за допомогою n -2 сусідніх перестановок і т.д. Нарешті, на останньому кроці переставляємо два останніх рядки і одержуємо

=

=

.

Одержаний визначник є визначником Вандермонда порядку n +1. Тому

.

Дійсно,

.

.

У кожному зі співмножників одержаного добутку міняємо знак, тобто помножаємо співмножник на -1. Остаточно одержуємо

.

Приклад 21. Обчислити визначник

.

.

=

.

Далі, з другого стовпчика одержаного визначника віднімемо перший:

.

З третього стовпчика визначника віднімемо другий:

.

Далі, з четвертого стовпчика визначника віднімемо третій і т.д. Нарешті, з останнього n-го стовпчика віднімаємо (n-1)-й стовпчик. Одержуємо визначник Вандермонда:

.

Таким чином,

.

Задачі для самостійного розв’язування.

Обчислити визначник методом зведення до визначника Вандермонда

Список літератури

Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М., 1965.

Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М., 1984.

Фаддеев Д.К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

PAGE

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой