Формула повної ймовірності.
Формула Байєса

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Разное


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Реферат на тему:

Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Повна група подій. Випадкові події Н1, Н2, …, Нn (Нi ((, i = 1, 2, …, n) утворюють повну групу подій, якщо:

Ні (попарно несумісні (Нi окрашені Нj =(, i (j);

Формула повної ймовірності. Якщо Н1, Н2, …, Нn (повна група подій Р (Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), то для будь-якої події А (А (() справджується рівність

.

Формула повної ймовірності має місце і для зліченої кількості подій:

якщо {Hi} (послідовність випадкових подій така, що

Нi (Нj =(, i (j;

,

то для будь-якої події А (А (() виконується рівність

.

Формула Байеса. Якщо Н1, Н2, …, Нn (повна група подій Р (Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), а В (довільна випадкова подія (В ((), така, що Р (В)> 0, то

.

Апріорні та апостеріорні ймовірності. Нехай подія, А може проходити в різних умовах, про характер яких можна зробити n гіпотез Н1, Н2, …, Нn. Із якихось міркувань відомі ймовірності цих гіпотез Р (Н1), Р (Н2), …, Р (Нn) (апріорні ймовірності), відомі також умовні ймовірності Р (А/Н1), Р (А/Н2), …, Р (А/Нn). Припустимо, що в результаті проведення досліду наступила подія А. Це повинно визвати переоцінку ймовірностей гіпотез Ні; формули Байєса і дають вираз для умовних ймовірностей Р (Нi/А) (ці ймовірності називають апостеріорними ймовірностями).

=1. Шукану ймовірність того, що буде вилучена біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності

.

.

Задача 3. В піраміді 5 гвинтівок, три які мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілець влучить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прцілом дорівнює 0,95;

для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що мішень буде влучена, якщо стрілець зробить один постріл з навмання взятої

гвинтівки. Відповідь р=0,85.

Задача 4. З урни, яка містить 3 білі та 2 чорні кулі, перекладено 2 кулі в урну, яка містить 4 білі та 4 чорні кулі. Знайти ймовірність витягнути після цього з другої

=0,52.

.

для того, хто

підійшов першим, а також для того, хто підійшов другим.

.

Задача 8. У двох урнах знаходиться відповідно n1 та n2 куль, з них білих m1 і m2. З першої урни переклали в другу урну одну кулю, колір якої невідомо. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

Задача 9. Ймовірність надходження k визовів на телефону станцію за проміжок часу t дорівнює Р t (k). Вважаючи, що число викликів за довільні два сусудні проміжки часу незалежні, визначити ймовірність Р2 t (s) надходження s визовів за проміжок часу 2 t.

.

Задача 10. Два автомата виробляють одинакові деталі, які поступають на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий — 84%.

Навмання взята з конвейєра деталь виявилась відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

Розв’язування Позначемо через, А подію — деталь відмінної якості. Можна зробити два пипущення (гіпотези): Н1 — деталь вироблена першим автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, у порівнянні з другим) Р (Н1) = 2/3; Н2 — деталь вироблена другим автоматом, Р (Н2) =1/3.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена першим автоматом, Р (А/Н1) = 0,6.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена другим автоматом, Р (А/Н2) = 0,84.

Ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за фор-

мулою повної ймовірності дорівнює

Р (А) = Р (А/Н1) Р (Н1) + Р (А/Н2) Р (Н2) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68.

Шукана ймовірність того, що взята деталь відмінної якості вироблена першим автоматом, за формулою Байеса дорівнює

.

— ймовірність того, що гвинтівка була з оптичним прицілом).

.

Задача 13. Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряда попали в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала попадання, якщо ймовірність попадання в ціль першою, другою та третьою гарматами відповідно дорівнюють

.

.

Задача 15. Кожна з k1 урн містить m1білих і n1чорних куль, а кожна з k2 урн містить m2 білих і n2 чорних куль. З навмання взятої урни вийняли кулю, яка віявилася білою. Яка ймовірність того, що кулю взято з першої групи урн?

Задача 16. Три мисливці одночасно зробили по одному пострілу у медведя. Медведя вбито однією кулею. Яка ймовірність того, що медведя вбито першим, другим або третім мисливцем, якщо ймовірності влучення для них дорівнюють відповідно р1= 0,2;

p2=0,4; p3=0,6.

Розв’язування. Нехай Аі-ведмедя вбив і-тий мисливець, і=1,2,3; В-медведя вбито однією кулею. Р (В)=0,2 0,6 0,4+ 0,8 0.4 0,4+ 0,8 0,6 0,4= 0, 464;

.

).

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой