Збурення псевдообернених та проекційних матриць

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Разное


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Реферат на тему:

Збурення псевдообернених та проекційних матриць

Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою подальшого використання при розв «язанні задач ідентифікації, нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.

, збурену матрицю

,

збурену псевдообернену матрицю

,

збурену проекційну матрицю

,

а також наступну проекційну матрицю

.

.

.

відповідно, тобто

. (2. 1)

визначається наступною теоремою.

, виконуються умови (2. 1), то

.

, їхній вид визначається наслідками з теореми 1.

Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то

. (2. 2)

Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно

.

Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то

. (2. 3)

Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і

,

, то

. (2. 4)

Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2. 3) і співвідношень

.

, тобто

. (2. 5)

Тут має місце наступна теорема [8].

виконуються умови (2. 5), то

(2. 6)

де

.

, то

, (2. 7)

де

. (2. 8)

Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

, (2. 9)

визначається по формулі (2. 8).

Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень

.

Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

. (2. 10)

.

, тобто

(2. 11)

і при цьому

. (2. 12)

У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно наступної теореми.

виконуються умови (2. 11), (2. 12), то мають місце співвідношення

, (2. 13)

. (2. 14)

Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то

. (2. 15)

,

де використані властивості

,

(відповідно до (2. 11)),

(відповідно до (2. 12)).

Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то

, (2. 16)

визначається по формулі (2. 14).

При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.

має наступну псевдообернену матрицю

. (2. 17)

Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї деякого її стовпця або рядка.

Випадок 4. Нехай мають місце умови (2. 11)

але при цьому не виконується рівність (2. 12), тобто

. (2. 18)

Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова

. (2. 19)

виконуються умови (2. 11), (2. 18), то мають місце співвідношення

, (2. 20)

Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна задовольняти псевдообернена матриця.

Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то

. (2. 21)

Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то

. (2. 22)

Довести останню формулу можна наступним чином

.

, то

, (2. 23)

, (2. 24)

, (2. 25)

. (2. 26)

наслідку 4 і 5.

. В якості збурень без обмеження спільності будемо розглядати поповнення матриці або вилучення останнього рядка. При поповненні матриці новим рядком для визначення збуреної псевдооберненої матриці використовуються добре відомі формули Гревіля [5]

, тоді

, (2. 27)

, (2. 28)

(2. 29)

, то

, (2. 30)

, (2. 31)

. (2. 32)

останнього рядка псевдообернена і проекційні матриці набувають наступні зміни

при

, (2. 33)

де

, (2. 34)

, (2. 35)

, (2. 36)

, (2. 37)

b) при

, (2. 38)

, (2. 39)

, (2. 40)

, (2. 41)

, тобто

, (2. 42)

а умова (2. 38) — відсутність зниження рангу

, (2. 43)

Наведемо доведення формули (2. 35). Якщо

одержимо

,

і, відповідно до (2. 17)

,

,

.

Тут використані співвідношення

.

Подібним чином доводиться і формула (2. 37).

відповідно до (2. 30)

і з рівняння

одержимо

.

Формули (40) і (41) доводяться простим використанням формули (2. 39).

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой