Пирамида

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Пирамида

Пусть Q — плаский багатокутник у площині a і P. S — точка, не що належить площині а. З'єднаємо кожну точку М багатокутника Q до точки P. S відрізком МS. Відтинки МS заповнюють певний багатогранник. Цей багатогранник називається пірамідою (рис. 1)

Пирамида називається n-угольной, якщо Q — n-угольник.

Треугольная піраміда називається також тетраэдром. Багатокутник Q називається підставою піраміди, а точка P. S — вершиною піраміди. Заввишки піраміди називається відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину до площині її підстави; кінцями цього відрізка є вершина піраміди і є підстави перпендикуляра; малюнку 1 SH — висота піраміди. (Заввишки піраміди називають довжину цього відрізка.) Нехай A, B, З, …, K — вершини багатокутника Q, лежачого під аркушами піраміди. Тоді трикутники ASB, BCS, …, KSA називаються бічними гранями піраміди, а відтинки AS, BS, CS, …, KS бічними ребрами.

Сечение піраміди, що відбувається через вершину і діагональ підстави, називається діагональним перерізом піраміди. Наприклад, трикутник ACS (див. мал. 1) — діагональне перетин пирамиды.

Пирамида називається правильної, якщо підставою став правильний багатокутник, а підставу висоти збігаються з центром цього багатокутника (центром підстави). віссю правильної піраміди називається пряма, що містить її высоту.

Высота бічний межі правильної піраміди, проведена з вершини піраміди, називається апофемой піраміди (позначення hбок). Усі апофемы правильної піраміди рівні між собой.

На малюнку 2 зображено правильна трикутна піраміда, де SO — висота, а SD — апофема.

Часть піраміди, ув’язнена між підставою і січною площиною, паралельної підставі, називається усіченою пірамідою (рис. 3). Паралельні межі ABC і A1B1C1 називаються підставами, а відрізок перпендикуляра ОО1, опущеного з який-небудь точки О1 верхнього підстави на нижнє підставу, — заввишки усіченою піраміди. Усічена піраміда називається правильної, якщо вона становить значну частину правильної піраміди. Її вісь — пряма, через центри підстав. Бічні межі правильної усіченою піраміди — рівні равнобочные трапеції; їх висоти називаються апофемами.

Пример 1. Визначити бічне ребро правильної чотирикутної піраміди, коли його висота дорівнює 7 див, а сторона підстави дорівнює 8 см.

Решение. Нехай умові завдання відповідає малюнок 4. З прямокутного трикутника ADC відповідно до теоремі Піфагора имеем:

AC=?AD² + DC² = ?8² + 8² = 8?2

и, отже, AO = 4?2. Нарешті з прямокутного трикутника AOS відповідно до тієї ж теоремі находим:

AS = ?AO² + SO² =?32 + 49 =?81 = 9,

т.е. бічне ребро піраміди одно 9 см.

Пример 2. Сторона підстави правильної чотирикутної піраміди дорівнює 14 м, а площа діагонального перерізу — 14 м. Знайдіть бічне ребро пирамиды.

Решение. Нехай умові завдання відповідає малюнок 4.

Рассмотрим діагональне перетин ACS, де SO — висота піраміди. Відповідно до відомої формулі для площі треугольника:

½ AC? SO = 14

В силу теореми Піфагора AC = 14?2 і, отже, SO = ?2.

Теперь з прямокутного трикутника ASO по теоремі Піфагора находим

AS = ?SO² + (AC/2)² = ?2 + 49? 2 = 10

Итак, бічне ребро піраміди одно 10 м.

Пример 3. По даної боці підстави чи бічного ребру b визначте висоту правильної трикутною пирамиды.

Решение. Оскільки піраміда правильна, то підставу її висоти O збігаються з центром правильного трикутника ABC — підстави піраміди (див. рис. 2). Тому відрізок BO дорівнює радіусу окружності, описаної близько трикутника ABC, і, отже, BO = а/?3. Тепер із прямокутного трикутника BOS по теоремі Піфагора получаем:

SO = ?BS² - BO² = ?b² - a²/3

Пример 4. У правильної чотирикутною усіченою піраміді (див. мал. 5) площі нижнього і верхнього підстав відповідно рівні B і b, а бічне ребро становить з площиною нижнього підстави кут в 45º. Визначити площа діагонального сечения.

Решение. Сторони підстав рівні ?B і ?b. Звідси по теоремі Піфагора підстави діагонального перерізу, яким є равнобочная трапеція, рівні ?2B і ?2b. Далі, оскільки кут при основі цієї трапеції дорівнює 45º, що його висота дорівнює (?2B — ?2b): 2 і, отже, площа шуканого сечения

(?2B + ?2b)? ?2B — ?2b = 2B — 2b = B — b

2 2 4 2

Задача підвищеної сложности

1. У підставі піраміди лежить равнобочная трапеція, діагональ якої l становить з великим підставою кут а. Площа бічний поверхні цієї піраміди P. S. Бічні межі піраміди нахилені до площині підстави її під рівними кутами, визначити ці углы.

Высота піраміди [КО] падає до центру уписаної окружности.

?AB ?+?CD?=?AD?+?BC?;

2?AB?=2?AM?; ?AB?=?AM?;

2r = ?CM?;

?CM?= l sina; ?AM?=l cosa.

Боковая поверхню піраміди представляє з себе площі трикутників із рівними висотами. Периметр основания:

?AD?+?BC?+?AB?+?CD?=4?AM?;

S = r: 2cos x ?4 ?AM?;

cos x = 2r?? AM?: S=?CM???AM?: P. S= l²? sin² a: 2S

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой