Об використанні квазираспределения Глаубера-Сударшана для описи динамічного хаосу

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Об використанні квазираспределения Глаубера-Сударшана для описи динамічного хаоса

К.Н. Югай, Омський університет, кафедра загальної физики

Описание динамічного хаосу мовою статистичних понять — функції розподілу, середніх, стохастичних рівнянь тощо. — представляється природним. Проте, як відомо, навіть у системі з розвиненою динамічним хаосом завжди існують острівці регулярного руху на фазовому просторі або області хаотичного руху розташовані острівцями в фазовому просторі регулярного руху [1]. Статистичне опис в динамічних системах, очевидно, то, можливо справедливим лише у сфері хаотичного руху. Але відокремити області хаотичного руху від областей регулярного руху видається дуже складним завданням. З іншого боку, треба враховувати також, що існують проміжні області квазипериодического руху, де статистичне опис навряд чи застосовний. Ті самі проблеми виникають за переходу до квантовим системам, які у станах динамічного хаосу, тобто. в описах квантового хаосу. Нижче ми розглядаємо одне із можливих способів описи квантового хаосу.

Он залежить від перехід до когерентним станам і формулюванні рівняння Фоккера-Планка для квазираспределения Глаубера-Сударшана і стохастичних рівнянь для середніх по когерентним станам координати і імпульсу. Це розгляд ми проведемо для нелінійного осциллятора Даффинга, взаємодіє з зовнішнім гармонійним полем. Хаотичні властивості такого осциллятора досліджувалися у багатьох роботах (см., например, [1−4]).

Пусть гамильтониан одномірного осциллятора Даффинга в зовнішньому гармонійному полі має вигляд:

где і — відповідно власна частота осциллятора і частота зовнішнього половіючі жита із амплітудою F, — параметр нелінійності. Тут маса осциллятора прийнята рівної 1.

В силу періодичності гамильтониана H (t)=H (t+T), — період зовнішнього поля, можна скористатися методом квазиэнергетических станів (див., наприклад, [5]). У цьому вся методі нестационарную завдання

можно зводити до завданню за власні значення для деякого ефективного гамильтониана:

где — квазиэнергетические стану при t=0, — квазиэнергия, обумовлена з точністю до цілого числа квантів , — ефективний гамильтониан, що можна знайти, виходячи з гамильтониане (1). Квазиэнергетические стану мають властивістю

Если тепер можливість перейти до уявленню взаємодії

где

то з періодичності потенціалу до поданні взаємодії

волновые функції виявляються квазиэнергетическими станами. Вони підпорядковуються рівнянню

или інтегральному рівнянню

Используя рівняння (9), можна записати оператор еволюції U (t) як:

где

Учитывая, що

и маю на увазі (3), знаходимо, що

Переходя до уявленню вторинного квантування і вираховуючи оператор A (T, 0) з точністю до членів , , F2, знаходимо після простих, але громіздких обчислень вираз для :

где — відповідно оператори його й знищення, . Тут запроваджені такі позначення:

Уравнение для матриці щільності з ефективним гамильтонианом (14) запишеться як

Далее ми перейдемо у просторі когерентних станів — власних станів оператора знищення:

Известно, що когерентные стану |z> можуть бути виражені з допомогою станів лінійного гармонійного осциллятора:

Состояния Баргмана у своїй визначаються рівністю

Матрица щільності в поданні Глаубера-Сударшана записується як

где P (z, z*) — квазивероятность, d2z=dz1dz2, z=z1+iz2, z1 і z2 — речові числа. З умови нормировки : випливає відповідне умова нормировки для квазивероятности P (z, z*):

Среднее значення будь-яку нормальну твори операторів визначається так:

Как бачимо, функція P (z, z*) виступає тут як функції розподілу.

Действие операторів і a на стану Баргмана можна як

Матрица щільності (2. 65) може бути записана й у вигляді

Найдем дію операторів і a на матрицю щільності (24), враховуючи рівність (23):

Аналогичным чином можна знайти дію інших операторів на матрицю щільності . Таким чином, отримуємо такі операторные відповідності, необхідні в подальшому:

Тогда з рівняння (16), враховуючи операторные відповідності (27), одержимо рівняння для квазивероятности P:

Переходя до речовинним змінним z1 і z2: z=z1+iz2, z*=z1-iz2, отримуємо рівняння для квазивероятности P як рівняння Фоккера-Планка:

где

Уравнение (29) то, можливо записано як рівняння безперервності

где потік Ji визначається так

Стационарные квазираспределения можна з умови

или

Поскольку матриця D у разі не вырождена, з (34) отримуємо

Отсюда видно, що стаціонарне квазираспределение P. s є тільки, якщо виконується умова

поскольку ліва частина рівності (35) є градієнт деякою функції, умовою існування якого є рівність нулю ротора, тобто. (36). Обчислення у разі показують, що умова (36) не виконується, тобто. стаціонарне квазираспределение P. s немає. Втім, відсутність стаціонарного квазираспределения очікувано, оскільки аналізований осциллятор перебуває у перемінному зовнішньому полі. Зауважимо ще, що позаяк цей осцилятор може у станах динамічного хаосу лише за наявності зовнішнього поля, можна стверджувати, що у станах динамічного хаосу квазираспределение P (z1,z2; t) завжди буде нестационарным.

Уравнению (29) відповідають стохастические рівняння:

Легко показати, що

где — середні значення координати і імпульсу в когерентном стані |z>, тобто.

Таким чином, маємо стохастические рівняння для середніх в когерентном стані значень координати і імпульсу:

где

То обставина, що стохастические рівняння (39), (40) отримані для середніх і в когерентном стані, мабуть, не дивно, оскільки ж добре відомо, що енергія осциллятора, розрахований з допомогою середніх і , в когерентном стані найближча формою з енергією класичного осциллятора, а співвідношення невизначеностей мінімізується саме у когерентних станах.

И, нарешті, зауважимо, що не елементи дифузійної матриці D є позитивно певними:

Диагональные елементи цієї матриці D11 і D22 мають різні знаки. Негативний коефіцієнт дифузії свідчив би, наприклад, у тому, що частки дифундують над напрямі, протилежному напрямку градієнта концентрації, що, звісно, у статистичній системі, наданої сама собі, нереально. Однак у умовах динамічного хаосу негативний елемент дифузійної матриці, можливо, означає, що у системі виникають «потоки », мають однакове напрям з градієнтом. Зауважимо, що це «потоки «творяться у просторі когерентних станів. Таке «нефизичное «поведінка зумовлено, звісно, дією зовнішніх сил. Можливо, що таке властивість системи та призводить до нерегулярності в высоковозбужденных станах частинок, тобто. до динамічному хаосу. Можливе також, що критичні явища у вращательных спектрах [6−10] пов’язані з цим поведінкою систем.

Список литературы

Lichtenberg A.J. and Lieberman M.A. Regular and Stochastic Motion. New York: Springer, 1983.

Moon F.C. Chaotic Vibrations. New York: John Wiley & Sons, 1987.

Югай К.Н. Динамічний хаос в высоковозбужденных станах квантового осциллятора Даффинга в зовнішньому гармонійному полі // Изв. вузов. Фізика. 1993. N.3. С. 90−94.

Yugay K.N. Dynamical chaos: applications to some optical problems // SPIE, High-Resolution Molecular Spectroscopy. 1991. V. 1811. P. 348−352.

Базь А.І., Зельдович Я. Б., Переломів А.М. Розсіювання, реакції і розпади в нерелятивистской квантової механіці. М.: Наука, 1971, 544 з.

Pavlichenkov I.M., Zhilinskii B.I. Rotation of molecules around specific axes: axes reorientation under rotational excitation // Chem. Phys. 1985. V. 100. N.3. P. 339−343.

Жилинский Б.І., Павличенков І.М. Симетрія і критичні явища у вращательных спектрах ізольованих микросистем // ДАНО СРСР. 1986. Т. 288. N.2. С. 355−359.

Жилинский Б.І., Павличенков І.М. Критичні явища у вращательных спектрах // ЖЭТФ. 1987. Т. 92. N.2. С. 387−393.

Pavlichenkov I.M. Bifurcation in quantum rotational spectra // SPIE, High-Resolution Molekular Spectroscopy. 1991. V. 1811. P. 12−25.

Жилинский Б.І. Теорія складних молекулярних спектрів. М.: Вид-во МДУ, 1989. 200 з.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой