Численное інтегрування певних интегралов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

АННОТАЦИЯ

У цьому роботі розглядатимуться три методу приближённого інтегрування певного інтеграла: метод прямокутників, метод трапецій і метод Сімпсона. Всі ці методи будуть докладно виведені з оцінкою похибки кожного їх. Для повного сприйняття матеріалу в роботу помістили розділ, у якому докладно розписано рішення, всіма трьома методами, певного інтеграла. У матеріалі розповідалося є ілюстрації, з допомогою яких, можна глибше зрозуміти суть аналізованої темы.

Введение…3

Основна часть… 4

-формула прямоугольников… 6

-формула трапеций… 8

-формула Симпсона…10

Практика… 15

Заключение… 19

Список литературы… 20

Мета цієї курсової роботи — вивчення методів приближённого інтегрування. Для деяких подынтегральных функцій [pic] інтеграл можна обчислити аналітично чи знайти у довідниках. Однак загалом разі первообразная [pic] може бути визначено: або первообразные не виражаються через елементарні функції, або подынтегральные функції не є елементарними. Це спричиняє необхідність розробки наближених методів обчислення певних з дитинства інтегралів. Найбільш загальновживаними наближеними методами обчислення одномірних певних з дитинства інтегралів є, звані, «класичні «методи чисельного інтегрування: метод прямокутників, метод трапецій, метод парабол (засновані на підсумовуванні елементарних площ, куди розбивається уся площа під функцією [pic]). Хоча ці методи зазвичай краще у разі малих розмірностей, вони не годяться для обчислення багатомірних з дитинства інтегралів, їхнього обчислення використовуються інші методи, однак у цієї роботи вони розглянуті не будут.

ОСНОВНА ЧАСТЬ

I. Определение інтеграла та її геометричний смысл.

На початку дізнаємося, що таке певний інтеграл. Можливі два різних підходи до визначенню певного интеграла.

ВИЗНАЧЕННЯ 1: прирощення F (b)-F (a) кожній із перетворених функцій F (x)+c за зміни аргументу від x=a до x=b називають певним інтегралом від a до b функції f і позначається [pic].

До того ж функція F є первообразной для функції f на деякому проміжку D, а числа чи b належать цьому проміжку. Це можна записати наступним образом:

[pic] (1) це формула Ньютона-Лейбница.

ВИЗНАЧЕННЯ 2:

[pic]Если за будь-якої послідовності разбиений відрізка [a; b] таких, що ?=max?xi>0 (n> ?) і за будь-якому виборі точек[pic] інтегральна сума? k=[pic]f (?i) ?xi прагне одному й тому кінцевому межі Бо це число Проте й є певний інтеграл, т. е. pic] limn>? ?k = lim?>0 [pic]f (?і) ?xi=A (2).

Де ?хi=xi-xi-1 (i=1,2,…, n) ?=max?xi — початок розбивки [pic] довільна точка з отрезка[xi-1; xi]

сумма всіх творів f (?i)?xi (i=1,…, n). Простими словами, певний інтеграл є межа інтегральної суми, членів якої необмежено зростає, а кожне складова прагне нулю.

ГЕОМЕТРИЧНИЙ СМЫСЛ:

[pic]Всякая безперервна на відрізку [a, b] функція f интегрируема на відрізку [a, b], функція f неотрицательна, але певний інтеграл [pic] чисельно дорівнює P. S криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f, віссю абсцис і прямими x=a і x=b, S=[pic]f (x)dx.

II. Приближённые методи вычисления.

Як ми вже відзначили, якщо функція f безупинна на проміжку, то, на цьому проміжку існує функція F така, що F'=f, тобто існує первообразная для функції f, але з всяка елементарна функція f має елементарну первообразную F. Пояснимо поняття елементарної функции.

Функції: статечний, показова, тригонометрическая, логарифмічна, зворотні тригонометрическим називаються основними елементарними функціями. Елементарного функцією називається функція, яка то, можливо задана з допомогою формули, що містить лише кінцеве число арифметичних операцій та суперпозиций основних элементарных.

Наприклад такі інтеграли: ?e-xdx; ?[pic]; ?dx/ln|x|; ?(ex/x)dx; ?sinx2dx; ?ln|x|sinxdx існують, але з виражаються у кінцевому вигляді через елементарні функції, тобто ставляться до з дитинства інтегралів, «не що беруться» в елементарних функциях.

Буває, що у практиці зіштовхуються з обчисленням з дитинства інтегралів від функцій, які задано табличными і графічними способами, чи інтеграли від функцій, первообразные яких виражаються через елементарні функції дуже складно, що ні зручно, довго чекати і не раціонально. У таких випадках обчислення певного інтеграла за такою формулою Ньютона-Лейбница (1) зводить обчислення певного інтеграла від будь-якої функції до пошуку її первообразной. Отже, якщо первообразная не елементарна, треба обчислити певний інтеграл якось з іншого, тому вдаються до різним методам приближённого интегрирования.

У основі приближённых методів інтегрування лежить геометричний сенс певного інтеграла, який розглянутий выше.

Формул приближённого інтегрування є багато. У цьому курсової роботі буде розглянуто три методу приближённого інтегрування: метод трапецій, метод прямокутників і метод Симпсона.

1. Формула прямоугольников

Тепер на перший вид приближённого вычисления:

требуется обчислити певний інтеграл: [pic].

Нехай на відрізку [a, b] задана безперервна функція y=f (x). Розділимо відрізок [a, b], аналогічно як і формулі трапецій: точками a=x0,x1,x2,…, xn=b на n рівних частин довжини? x, де? х=(b-a)/n.

[pic]Обозначим через y0, y1,y2,…, yn-1,yn значення функції f (x) в точках x0, x1, x2…, xn, тобто, якщо записати в наочної формуле:

Y0=f (x0), y1=f (x1), y2=f (x2)…yn,=f (xn).

У цьому способі подынтегральную функцію замінюємо функцією, яка має ступінчастий вид (на рис. виділено). Складемо суми: y0? x+ y1? x1+ y2? x2…+yn-1?x; Y1? x+ y2? x+…+yn?x

Кожне складова витрат на пальне висловлює площа, отриманих прямокутників з повним правом? x, що є шириною прямокутника, і вираженої через yi: Sпр=a*b=yi?x.

Кожна з витрат на пальне є інтегральної сумою для f (x) на відрізку [a, b], і дорівнює площі східчастих постатей, отже приближённо висловлює інтеграл. Винесемо? x=(b-a)/n з кожної суми, получим:

[pic]f (x)dx??x (y0+y1+…+yn-1);

[pic]f (x)dx??x (y1+y2+…+yn). Висловивши x, одержимо окончательно:

[pic]f (x)dx?((b-a)/n)(y0+y1+…+yn-1); (3)

[pic]f (x)dx?((b-a)/n)(y1+y2+…+yn); (3*)

Це і формули прямокутників. Їх дві, тому що використовувати два способу заміни подынтегральной функції. Якщо f (x) — позитивна і зростаюча функція, то формула (3) висловлює P. S постаті, розміщеній під графіком, складеної з вхідних прямокутників, а формула (3*) — площа східчастої постаті, розміщеній під графіком функції складеної з виходять трикутників. Помилка, чинена при обчисленні з дитинства інтегралів за такою формулою прямокутників, тим менше, що більше число n (тобто що менше крок деления)[pic]. Для обчислення похибки цього використовується формула: Pnp=[pic], де [pic] Результат отриманий за такою формулою (3) явно дає велику площа прямокутника, як і за такою формулою (3*) дає явно меншу площа, щоб одержати середнього результату використовується формула середніх прямоугольников: [pic] (3**)

2. Формула трапеций.

Візьмемо певний інтеграл ?f (x)dx, де f (x) — безперервна подынтегральная функція, що її для наочності будемо припускати позитивної. При обчисленні інтеграла з допомогою формули трапецій подынтегральная функція f замінюється функцією, графік якої представляє собою ломанную лінію (малюнку 2 червоним кольором), ланки якої з'єднують кінці ординат yi-1 і yi (i=1,2,…, n). pic]Тогда площа криволінійної трапеції, обмеженою лініями x=a, x=b, y=0, y=f (x), а отже (слідуючи з геометричного сенсу), і значення потрібного нам інтеграла, приблизно дорівнює сумі площ звичайних трапецій з підставами yi-1 і yi і заввишки h=(b-a)/n, оскільки (якщо більш звична висловлювати нам) h це? x, a? x=(b-a)/n під час ділення відрізка на n рівних відрізків з допомогою точок x0=a

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой