Различные підходи до визначення проективної плоскости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Запровадження |Історичний огляд аксіоматичного побудови проективної геометрії |4 | |Глава 1. Визначення проективної площині з урахуванням тривимірного | | |векторного простору. |5 | |Поняття проективної площині. |5 | |Властивості проективної площині. |5 | |Моделі проективної площині. |8 | |Теорему Дезарга. |12 | |Теорему Паппа. |14 | |Глава 2. Аналітичне побудова проективної площині. |17 | |2.1. Поняття проективної площині. |17 | |2.2. Властивості проективної площині. |18 | |2.3. Теорему Дезарга. |20 | |Глава 3. Аксіоматичне побудова проективної площині. |23 | |3.1. Аксіоматика аффинной площині. |23 | |3.2. Аксіоматика проективної площині. |24 | |3.3. Моделі проективної площині. |24 | |3.4. Теорему Дезарга. |26 | |3.5. Принцип двоїстості. |30 | |3.6. Гармонійна четвірка точок. |32 | |3.7. Перспективні і проективні відображення. |34 | |3.8. Аксіома Паппа і полягала основна теорема про проективних перетвореннях |37 | |прямий. | | |Глава 4. Застосування основних теорем вирішення завдань на евклідовій | | |площині. |42 | |4.1. Використання теореми Дезарга на евклідовій площині. |42 | |4.2. Використання пропозиції Паппа на евклідовій площині. |43 | |Додатка |46 | |Список літератури |56 |

Запровадження Поняття проективної площині можна запровадити багатьма способами. Проективну площину можна побудувати з урахуванням тривимірного векторного простору, аналітично і аксіоматично. У цьому роботі, у її першому розділі, проективна площину Р2 будується на базі тривимірного векторного простору, розглядаються властивості проективної площини і її моделі. Наприкінці глави доводяться теореми: Дезарга і Паппа. У другій главі проективна площину сприймається як безліч проективних точок, кожна з яких є клас пропорційних трійок дійсних чисел, не що містить нульової трійки. При даному підході побудувати проективної площині розглядаються властивості, доводиться теорема Дезарга. У третій главі приділяється увагу побудові проективної площині аксіоматично. Перш ніж визначити проективну площину, вводиться аксіоматика аффинной площині. Після визначення проективної площині розглядаються 4 її моделі. Особливу увагу приділяють теоремі Дезарга. На основі викладеного у третій главі матеріалу роблять висновок про двоїстості на проективної площині. У цьому главі також поняття: гармонійна четвірка точок, перспективні і проективні відображення. Завершує главу аксіома Паппа і полягала основна теорема про проективних перетвореннях прямий. Глава четверта вивчає використання теорем Дезарга і Паппа на евклідовій площині. Після цього наводяться вирішення завдань, під час вирішення яких використовувалися доведені вище теореми. Уся історія геометрії дає повчальний приклад того, як наука матеріальні коріння якої залишилося беруть своє керівництво з життєвих потреб людського суспільства (землемерие, на будівництво жител, живопис), досягла високого теоретичного рівня, виробила власні специфічні разом із тим вельми загальні методи, які у своє чергу уможливили нові плідні застосування геометрії до практичним вопросам.

Історичний огляд аксіоматичного побудови проективної геометрії. Є різні аксіоматичні способи побудови проективного простору. Найпоширенішим є видозміну системи аксіом, запропонованої в 1899 року Гільбертом для обгрунтування елементарної геометрії. Проективне простір сприймається як сукупність елементів трьох пологів: точок, прямих і площин, між якими встановлено основне для проективної геометрії ставлення инцидентности, що характеризується належними аксіомами. Вони від відповідних груп аксіом елементарної геометрії, тим, які потребують, щоб кожні дві прямі, що лежать одноплощинно, мали загальну і з кожної прямий було, по крайньої мері, три різні точки. У конкретних випадках щоб одержати більш «багатою» проективної геометрії ця сукупність аксіом доповнюється аксіомами порядку й безперервності (для дійсного проективного простору), аксіома Паппа (для проективної геометрії над коммутативными тілами), Фано постулатом (для проективної геометрії над тілами, характеристика якого порядку (2) тощо. Чудовим становищем проективної геометрії є принцип двоїстості. Кажуть, що вищу точку і пряма (точка і площину, пряма і площину) инцидентны, якщо точка лежить прямий (чи пряма проходить через і т.д.). Тоді коли є правильним деяке припущення, А про точках, прямих і площинах проективного простору, сформульовані лише у термінах инцидентности з-поміж них, він правильно, і двоїсте пропозицію. У, яке виходить з, А заміною слова «точка» слову «площину», слово «площину» слову «точка» і зі збереженням слова пряма. Важливу роль проективної геометрії грає Дезарга пропозицію, виконання якого треба і запровадження проективными засобами системи проективних координат, складених їх елементів деякого тіла До, природним чином що з точкою проективної прямий. Основи проективної геометрії закладено у 17 В Ж. Дезаргом і Б. Паскалем. Важливе значення на подальше розвитку проективної геометрії мали роботи П. Монтена (2-га статей. 18в — поч. 19в). Як самостійна дисципліна проективна геометрія було викладено Понселе (поч. 19в). Заслуга Ж. Понселе залежить від виділенні проективних властивостей фігур у окремий клас, та встановленні відповідностей між метричними і проективными властивостями цих постатей. А до того періоду ставляться роботи Ж. Брионшона. Подальший розвиток проективна геометрія отримало працях Я. Штейнера і М. Пустуючи. Велику роль у розвитку проективної геометрії зіграли роботи До. Штаудта, у якому намічені також контури аксіоматичного побудови проективної геометрії. Всі ці геометрії, прагнули довести теореми проективної геометрії синтетичним методом, взявши за основу викладені проективні властивості постатей. Аналітичне направлення у проективної геометрії було заплановано роботами А. Мьобіуса. Вплив в розвитку проективної геометрії надали роботи Н.І. Лобачевського зі створення неевклідової геометрії, які дозволяли надалі А. Кэли і Ф. Клейну розглянути різні геометрії, систематизувати з погляду проективної геометрії. Розвиток аналітичних методів звичайній проективної геометрії й модульна побудова базі цього комплексної проективної геометрії поставили завдання про залежності тих чи інших проективних властивостей від цього тіла, з якого побудована геометрія. У вирішенні питання великих успіхів домоглися О. Н. Колмогоров і К. С. Понтрягин.

Глава 1. Визначення проективної площині з урахуванням тривимірного векторного пространства.

1. Поняття проективної площині. Розглянемо визначення проективної площині Р2. Поняття проективної площині будується з урахуванням тривимірного векторного простору V3. Визначення: Не порожній безліч Р2 називається проективним площиною, якщо є відображення (безлічі ненульових векторів V3 в Р2 що задовольнить двом умовам: 1) Відображення (сюрьективно. 2) Образи 2-х векторів збігаються, ці вектори лінійно залежні. ((х)=((у)(х, у — лінійно зависимы.

1.2. Властивості проективної площині. Розглянемо властивості проективної площині Р2.

1) Через (дві () проективної площині проходить єдина пряма. Доказ: Розглянемо проективну площину Р2 побудовану з урахуванням V3. Нехай точка, А породжена вектором а (V3 (тобто. ((а)=А). () У породжена b (V3(т.е. ((b)=В); a ((b т.к. породжують різні точки. Тоді на вектора a, b можна натягнути двовимірне векторное простір L (a, b), яке сприймається проективної площині породжує пряму l. Вочевидь пряма l проходить через () Проте й В.

V1(а)=A V1(V2 (A (l

V1(b)=B V1 «(V2 (B (l Одиничність: Справді, нехай l «- довільна пряма що відбувається через () Проте й У, а L «- двовимірне підпростір, яке породжує пряму l «оскільки А (l «і В (l », то а (L «і b (L «(L «- підпростір натягнуте на вектори чи b. Отже L і L «- те й теж векторное підпростір (прямі l і l «совпадают.

2) На проективної площині (дві прямі перетинаються. Доказ: Р2 побудовано з урахуванням V3 пряма l -V2 (V3 пряма m -V2 «(V3 1) V2(V2 », оскільки l (m 2) V2(V2 «=V1 — породжує ()А; l (m =A оскільки V1(V2 (A (l

V1(V2 «(A (m; ()А — єдина. l і m перетинаються в єдиною ()А.

3) Крапки проективного простору Р3 називаються лінійно зависимыми

(лінійно незалежними), якщо вектори які породжують їх із простору V4 лінійно залежні (лінійно незалежні). На проективної площині (три лінійно незалежні крапки й де вони лежать в одній прямий. Позаяк у V3 (трійка лінійно незалежних векторів (e1,e2,e3(, ця трійка на проективної площині породжує трійку лінійно незалежних точок Е1, Е2, Е3. Покажемо, що це точки не лежать в одній прямий. Коли б ці точки належали одній прямій, то вектора які породжують їх мали належати V2, чого не може, тому що ці вектора лінійно незалежні. Висновок: точки Е1, Е2, Е3 не лежать в одній прямий й інші точки Е1, Е2, Е3 — лінійно независимы.

4) В кожній прямий лежить щонайменше трьох точок. Доказ: Прямий l (P2 відповідає векторном просторі V3 двовимірне підпростір V2. Нехай V2 вимушено на вектори a і b. Вектор з = a + b, с (V2. Відповідні точки А, В, С (l і різні. Висновок: В кожній прямий лежить щонайменше трьох точок. Зауваження: Будь-яка четвірка точок проективної площині лінійно зависима.

1.3. Моделі проективної плоскости.

1) Зв’язка прямих в тривимірному евклідовому просторі Е3. Зв’язкою прямих в Е3 називається безліч прямих простору проходять через деяку фіксовану (). Ця () — називається центром зв’язки. Простір Е3 побудовано з урахуванням V3. Поставимо відображення (безлічі ненульових векторів на зв’язку згідно із законом кожному вектору A поставимо в відповідність пряму ОА зв’язки, щоб ОА ((a.

Перевіримо выполняемость аксіом проективної плоскости.

1)(- сюрьективно, тому що в (прямий ОМ завжди буде хоча б тільки прообраз вектор m ((ОМ

2)если 2 вектора коллинеарны a ((a1, то образи збігаються — це завжди буде пряма ОА, ((a)=((a1)=OA. Якщо образи 2-х векторів збігаються, то вектори коллинеарны.

Побудована конструкція є моделлю проективної площині. Роль проективних точок у цій моделі виконують прямі зв’язки, з роль проективних прямих виконують площині зв’язки. Проаналізуємо, як виконуються властивості проективної плоскости.

|Свойства проективної площині |Реалізація на моделі | |1)Через дві будь-які точки проходить |1)Через дві прямі зв’язки проходить | |єдина пряма |єдина площину зв’язки | |2)(дві прямі на проективної |2)(дві площині зв’язки перетинаються| |площині перетинаються |по прямий зв’язки | |3)(три () не що лежать в одній прямой|3)(три прямі зв’язки не які у | | |площині зв’язки | | |4)Каждой площині зв’язки належить| |4) з кожної прямий лежить щонайменше |щонайменше трьох прямих цієї зв’язки | |трьох точок | |

2)Рассмотрим другу модель — розширена евклидова площину. Розглянемо у просторі зв’язку з центром в ()Про і площину (не яка стелиться через ()Про і поставимо відображення (площині (у зв’язку з центром в ()Про згідно із законом: (()А площині (ставлять у відповідність пряма ОА.

(- биективно? тобто. будь-який чи прямий зв’язки відповідатиме прообраз? Відповідь: немає. Прямі зв’язки паралельні (немає прообразів і ті прямі називають особливими. Таких прямих буде незліченну кількість й вони лежать у площині зв’язки, яка паралельна (. Таку площину назвемо особливої площиною. А, щоб відображення (зробити биективным й одержати нову модель проективної площині доповнимо евклидову площину («несобственными елементами «. Розглянемо особливу пряму зв’язки m, m (((, і проведемо цю пряму не особливу площину (, ((m)((=a, a ((m. (пряма (не особлива пряма) зв’язки ((має власний прообраз на прямий a. Поставимо у відповідність прямий m не власну ()М (, яка (a.

Проведемо через особливу пряму m іншу не особливу площину (((m)((=b, a ((b ((m, оскільки кожна не особлива пряма (має прообраз безпосередньо b, то прообраз особливої прямий m не власна ()М ((b. Якщо розглянемо іншу особливу пряму n, маємо експортувати відповідність свою несобственную ()N (. Кожна не особлива площину зв’язки тримає в площині (своїм прообразом пряму перетину цьому відношенні з площиною (. (-a,(-b. Поставимо в відповідність особливої площині несобственную пряму l (, був тоді й усе особливі прямі лежать у єдиною особливої площині, усі невласні точки лежать на єдиною невласної прямий. Визначення: Розширеної евклідовій площиною (називається евклидова площину доповнена несобственными елементами: несобственными точками і єдиною невласної прямий, причому всі прямі паралельні між собою доповнюються одному й тому ж невласної точкою і всі невласні точки лежать на єдиною невласної прямий. Відображення (: ((зв’язку стало биективным, оскільки зв’язка прямих є моделлю проективної площині, те й розширена площину (є моделлю проективної площині. Роль проективних точок у цій моделі виконують власні і невласні точки. Роль проективних прямих виконують власні прямі площині (і несобственная пряма. Розглянемо выполняемость властивостей проективної площині на побудованої моделі. |Властивості проективної площині |Виконання властивостей на моделі | |1)через дві будь-які точки проходить |а)()А, В власні і крізь них | |єдина пряма |проходить єдина пряма АВ | | |б) А, В (| | | | | |через, А проводимо пряму a ((b пряма | | |АВ (| | |в)А (, У (- лежать на єдиною | | |невласної прямий l (. | |2)(дві прямі перетинаються |2) а) a, b- власні a (b=А | | |б)a, b власні але з евклідовій | | |погляду ((, бо як прямі | | |розширеній площині a (b=А (| | |в)a, b (| | |A ((A, A ((b ((A (b (=A (|

3)Третья модель проективної площині. У тривимірному евклідовому просторі дана сфера. Під ()М усвідомимо дві діаметрально протилежні точки сфери, під прямий безліч пар діаметрально протилежних точок лежачих на окружності великого радіуса. Доведемо, що побудоване безліч є проективної площиною. ()N=(N ", N «» (, ()K=(K ", K «» (.

Розглянемо зв’язку з центром в ()Про і поставимо відображення (: A ((A ", A «» ((прямий зв’язки відповідає пара діаметрально протилежних точок перетину цієї прямий зі сферою). (- биективно (побудована конструкція є моделлю проективної площині. Перевіримо выполняемость властивостей проективної площині. Властивості: 1) Через (дві точки проходить єдина прямая

— за два пари діаметрально протилежних точок сфери (М ", М «» (і (N ", N «» (проходить єдина окружність великого радіуса. 2)(дві прямі проективної площині пересекаются

— (дві окружності великого радіуса перетинаються в діаметрально протилежних точках. 3)(трикрапку не що лежать в одній прямий -(три пари діаметрально протилежних точок (однієї окружності великого радіуса. Наприклад: точки N=(N ", N «» (, K=(K ", K «» (, P=(P ", P «» (. 4) На кожної прямий лежить щонайменше трьох точек

— розглянемо окружність великого радіуса через ()Про можна навести три різних діаметра, кожен діаметр перетинає цю окружність в діаметрально протилежних точках. Це означає, що у кожної прямий лежить щонайменше трьох точок. 1.4. Теорему Дезарга. При даному способі побудови проективної площині має місце теорема Дезарга, в якій мовиться: Теорему: Якщо прямі які відбуваються через відповідні вершини двох трехвершинников перетинаються лише у точці, то точки перетину відповідних сторін цих трехвершинников лежать в одній прямий. AB (A «B «=P, AC (A «З «=Q, BC (B «З «=R, AA «(BB «(CC «=O, P, Q, R- лежать у однієї прямой?

Доказ: Розглянемо вектори O, A, A ", B, B ", C, C ", P, Q, R які породжують відповідні (), оскільки А, А ", Про лежать в одній прямий, то вектори які породжують їх лінійно залежні, тобто. O= aA + a «A „. З те, що У “, У, Про — лежать в одній прямий (У, У », Про- лінійно залежні (O= bB + b «B «()З, З », Про — лежать в одній прямий (O= cC + з «З «aA + a «A «= bB + b «B «= cC + з «З «aA — bB = b «B «- a «A «= P (1) А, В, Р — лінійно залежні (() А, В, Р (одній прямій, А », У », Р «- лінійно залежні (()А », У », Р «(одній прямій. P=AB (A «B «aA — cC = з «З «- a «A «(2) А, С, Q- лінійно залежні (()А, С, Q (одній прямій. А », З », Q «- лінійно залежні (()А », З », Q «(одній прямій. Отже, Q=АС (А «З «bB — cC = з «З «- b «B «= R (3) В, С, R -лінійно залежні (()В, С, R (одній прямій. У », З », R «-лінійно залежні (()У », З », R «(одній прямій Отже, R=ВС (В «З «. Складемо вираз: [pic] [pic] - вектори [pic] лінійно залежні (()P, Q, R лежать в одній прямий. Теорему доведено. Прийнято називати трехвершинники, задовольняють теоремі Дезарга, дезарговыми. ()О=АА «(ВР «(СС «- дезарговой, пряму, якій належать точки P, Q, R — дезарговой. Для теореми Дезарга має місце зворотна теорема: Якщо точки перетину відповідних сторін двох трехвершинников лежать в одній прямий, то прямі, які відбуваються через відповідні вершини цих трехвершинников, проходять через одну точку. Зауваження: Трехвершинник — це постать, що складається із трьох точок не лежачих в одній прямий й немає прямих що пропливали кожну пару цих точек.

А, В, С- вершини прямі АВ, ВС, АС- стороны

1.5. Теорему Паппа. Наступною складової даної теорії є теорема Паппа- Паскаля, що є приватним випадком теореми Паскаля. Сформулюємо теорему Паскаля.

рис. 1

Теорему Паскаля: А, щоб шість точок, у тому числі ніякі три не лежать в одній прямий належали овальної кривою, необхідне й досить, щоб точки перетину відповідних сторін шестивершинника* лежали в одній прямий. AB'(A'B=P, AC'(A «C=Q, BC'(B'C=R. (рис. 1)

P, Q, R належать прямий (пряма Паскаля) Розглянемо теорему Паскаля у цьому приватному разі, коли крива другого порядку розпадається разом прямих. Нехай А, В, С, А ", У ", З «- шість вершин шестикутника Паскаля, розташованих по три на даних прямих l і l », які ми розглядаємо, як распавшуюся криву другого порядку (рис 2). Тоді маємо такі трикрапку перетину пар відповідних сторін шестикутника: Р=АВ «(А «У, Q=А «С (АС », R=ВС «(У «З. По теоремі Паскаля ці три точки лежать в одній прямий. Розглянутий окреме питання теореми Паскаля був відомий древнім грецьким геометрам й мав назва теореми Паппа. Нині ця теорема називається Паппа — Паскаля.

Рис. 2 *шестивершинником називається постать що складається з послідовності шести ()А1, А2, А3, А4, А5, А6 званих вершинами та шість прямих А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 званих сторонами.

Ми розглянули одне із підходів до визначення проективної площині, а саме визначення проективної площині з урахуванням тривимірного векторного простору. Тепер на аналітичне визначення проективної плоскости.

Глава 2. Аналітичне побудова проективної площині. 2.1. Поняття проективної площині. Визначення 1: Проективної точкою називається клас пропорційних трійок дійсних чисел, які містять нульової трійки. Будемо позначати його Х={(Х1,Х2,Х3)} Безліч всіх проективних точок називається дійсною проективної площиною. Визначення 2: Проективної прямий називається безліч всіх точок які відповідають лінійному однорідному рівнянню вида:

С1Х 1+ С2Х 2+ С3Х 3=0 (1) де хоча одне з чисел Ci відмінно від нуля. Визначення 2 коректно, бо коли трійка (Х1,Х2,Х3) задовольняє рівнянню (1), то силу його однорідності незалежно від дійсному (трійка ((Х1, (Х2, (Х3) задовольняє рівнянню (1). Крапки, задовольняють рівнянню (1) задовольняють також лінійному однорідному уравнению.

((С1)Х 1+ ((С2)Х 2+ ((С3)Х 3=0 (2) при (((R: ((0. Тому кожного прямий, заданої рівнянням (2) можна поставити у взаємно однозначне відповідність клас пропорційних трійок С={(С1,С2,С3)}. Так, що трійками вже з класу відповідає одна пряма, причому цей клас зовсім позбавлений нульової трійки. Через це пряму, задану рівнянням (2) будемо позначати тієї ж буквою З, як і відповідний клас {(С1,С2,С3)}. Рівність (2) можна записати й у виде

СХ=0 (3)

Скалярне твір трійок З повагою та Х. СХ= C1Х1 + С2Х2 + С3Х3 =0

Зауваження: Розглянемо 3-мерное лінійне простір L3. Виключимо потім із нього нульової вектор 0. Безліч L3{0} розіб'ємо за класами еквівалентності так, що вектори одного класу коллинеарны між собою. Кожен такий клас назвемо проективної точкою, а безліч всіх класів 2-мерным проективним простором (площиною). Безліч всіх класів, вектори яких належать (0(назвемо одномірної проективної площиною (прямий). У L3 введемо координати. Тоді кожному вектору відповідає рядок (Х1,Х2,Х3), і кожному класу еквівалентності з L3(0((тобто. проективної ()) — клас {(Х1,Х2,Х3)} пропорційних рядків, він нульової рядки. Ми дійшли визначенню проективної плоскости.

2.2. Властивості проективної площині. Доведемо кілька простих теорем про взаємній розташуванні () й немає прямих на проективної площині. Теорему 1: За два різні () проходить єдина пряма. Доказ: 1) Існування. Нехай Х= {(Х1,Х2,Х3)} і У={(Y1,Y2,Y3)} дві різні (). Визначимо пряму так: З= Х*Y тобто З = Х2, Х3 Х3, Х1 Х1, Х2

Y2,Y3, Y3, Y1, Y1, Y2 оскільки CХ = (Х*Y)Х = |Х, Y, Х| = 0

CY = (Х*Y)Y = |Х, Y, Y| = 0 і з властивості визначників, то () Х і Y належать прямий З. 2) Одиничність. Якщо пряма С={(C1,C2,C3)} містить () Х і Y, будь-який представник (C1,C2,C3) класу З задовольняє системі уравнений.

C1Х1 + C2Х2 + C3Х3 =0

C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 =0 (5) (безліч ненульових рішень цією системою (нульовий рішення не визначає пряму). У цьому для (рішення (С1,С2,С3) справедливо рівність: {(C1,C2,C3)}= Х2, Х3 Х3, Х1 Х1, Х2

Y2,Y3, Y3, Y1, Y1, Y2 Тобто. рішення системи (5) утворюють єдиний клас ненульових трійок. Цей класу виявляє єдину пряму З. ч.т.д. Теорему 2: Дві різні прямі мають єдину загальну точку. Доказ: Нехай, С={(С1,С2,С3)}, m={(m1,m2,m3)} дві різні прямі. Знайдемо () Х ={(Х1,Х2,Х3)}, що лежить цих прямих. Досить повторити доказ попередньої теореми, замінивши Х на З, Y на m, З на Х. Одержимо, що єдина загальна точка Х визначається равенством

Х=С*m (6). ч.т.д. Теорему 3: А, щоб три () Х, Y, Z лежали в одній прямий, необхідне й досить, чтобы

Х1 Х2 Х3 |X, Y, Z|=0 (7), тобто Y1 Y2 Y3 =0

Z1 Z2 Z3 Доказ: 1) Необходимость. Нехай () X, Y, Z лежать в одній прямий З. якщо хоча б дві їх збігаються, то рівність (7) випливає з визначення смешенного твори властивостей означника. Нехай ці () різні. Користуючись теоремою 1, можна записати C=X*Y. Оскільки ()Z лежить на жіночих прямий З, то CZ=0 ((X*Y)Z=|X, Y, Z|=0 2) Достаточность. Нехай виконується рівність (7). Розглянемо твір C=X*Y. Рівність (7) можна записати як (X*Y)Z=0, тобто CZ=0 (()z лежить прямий З що проходить через () X і Y. Рівність (7) залежить від вибору представників точок. Теорему доведено. Теорему 4: А, щоб три прямі з, m, n проходили через одну () необхідне й досить, чтобы

|c, m, n|=0 (8) Для трійок дійсних чисел поняття лінійної залежності і лінійної незалежності визначається як і, як й у векторів. Нехай трійки x,…, x лінійно залежні. Легко перевірити, що (інші трійки x,…, x, належать тим самим класам, теж лінійно залежні. Тому класи трійок (точки) лінійно залежні, якщо лінійно залежні якісь представники цих класів. З теорем 3 і 4 йдуть дві теореми. Теорему 5: А, щоб три () лежали в одній прямий, необхідне й досить, щоб були лінійно залежні. Теорему 6: А, щоб три прямі проходили через одну (), необхідно і, щоб були лінійно зависимы.

2.3. Теорему Дезарга. На проективної дійсною площині має місце теорема Дезарга. Теорему Дезарга: Якщо прямі які відбуваються через відповідні вершини двох трехвершинников перетинаються лише у точці, то точки перетину відповідних сторін цих трехвершинников лежать в одній прямий. P=AB (A «B », Q=AC (A «З », R=BC (B «З », AA «(BB «(CC «=Q P, Q, R лежать в одній прямий. Доказ: Введемо проективну систему координат, приймемо () А, В, С, О за фундаментальные:

А (1,0,0), В (0,1,0), С (0,0,1), О (1,1,1) Координати ()А «- є лінійна комбінація координат ()Проте й ()Про, оскільки А (А », то, а «=(А + ((Можна покласти (=1. Тоді отримуємо, А «=(А +(. Теж саме стосується і до іншим вершин трехвершинника A «B «З «. Тому, А «((+1,1,1), У «(1,(+1,1), З «(1,1,(+1) рівняння прямий АВ: х1×2 х3

1 0 0 =0

0 1 0

АВ: х1 0 0 + х2 0 1 + х3 1 0 =0

1 0 0 0 + 0 1 АВ: х3=0 Рівняння, А «У «: х1×2 х3

(+1 1 1 =0

1 (+1 1 A «B «: х1 1 1 + х2 1 (+1 + х3 (+1 1 =0

(+1 1 1 1 1 (+1 A «B «: -(х1 — (х2 + (((+ (+ ()х3 = 0 Оскільки АВ (A «B «=P х3 = 0

-(х1 — (х2 + (((+ (+ ()х3 = 0 ()Р 0 1. 1 0. 0 0; ()Р ((,-(, 0).

-(((+(+(, ((+(+(-(, -(-(АС: х1×2×3 A’C': х1×2 х3

1 0 0 =0 (+1 1 1 =0

0 0 1 1 1 (+1 АС: х2=0 A’C': (x1 + (-((- (- ()x2 + (x3 = 0 оскільки АС (А'С' = Q

+x2 = 0 (x1 + (-((- (- ()x2 + (x3 = 0, то Q (+(, 0, () BС: х1×2×3 B’C': х1×2 х3

0 1 0 =0 1 (+1 1 =0

0 0 1 1 1 (+1 BC: x1 = 0 B’C': ((+ ((+()x1 — (x2 — (x3 = 0 оскільки R= BC (B'C' x1 = 0

((+ ((+()x1 — (x2 — (x3 = 0, то () R (0, -(, -(). З допомогою умови коллинеарности трьох () переконаємося, що () P, Q, R лежать на одній прямій. Маємо (-(0 (-(0

(0 (= (-(0 =0

0 -(-(0 -(-(Умова коллинеарности виконано, отже, P, Q, R (одній прямій. Теорему доказана.

Глава 3. Аксіоматичне побудова проективної площині. 3.1. Аксіоматика аффинной площині. Почати з деяких найпростіших фактів звичайній пласкою геометрії, які ми застосуємо як аксіом при синтетичному побудові теорії. Визначення: Аффинной площиною називають безліч елементів, іменованих точками і системи його підмножин, іменованих прямими, причому повинні виконуватися три формулируемые нижче аксіоми А1-А3. А1: Для (двох різних точок Р і Q (єдина пряма, що відбувається них. Дві прямі називаються паралельними, якщо вони збігаються або мають загальних точок. А2: Для (заданої прямий l і точки Р (сама й лише одне що відбувається через Р пряма m: m || l А3: (три неколлинеарные точки (Крапки Р1, Р2,…Рn називаються коллинеарными, якщо (пряма l, всі ці точки їй належать). Приклад: Евклидова площину Е2 задовольняє аксіомам А1-А3, тобто є аффинной площиною. Приклад: Аффинная площину має, по крайнього заходу, чотири різних точки; площину що перебуває з чотирьох () існує. Справді з А3 на площині є три неколлинеарные точки; позначимо їх крізь P, Q, R. Відповідно до А2, (пряма l, через Р і паралельної прямий QR, що з'єднує Q і R (ця пряма (по А1). Так само ж доводиться (прямий m || PQ, що проходить через R. Покажемо тепер, що l || m. ж S (R. Отже, четверта () P. S необхідно має існувати й наше перше твердження доказано.

Тепер на прямі PR і QS. Вони можуть перетинатися, однак вони можуть і не перетинатися — не суперечить аксіомам. І тут ми маємо аффинную площину, що містить рівно чотири () P, Q, R, S і зібрали шість прямих PQ, РR, PS, QR, QS, RS. Аксіоми А1-А3 тут виконуються, в такий спосіб, ми матимемо аффинную площину [pic], що містить найменше можливу кількість (), саме, четыре.

3.2. Аксіоматика проективної площині. Визначення: Проективної площиною P. S називають безліч, елементами якого іменуються точками, й створили набір його підмножин, іменованих прямими, при цьому виконуються такі чотири аксіоми. П1. Через дві різні точки P і Q площині P. S можна навести єдину пряму. П2. (дві прямі перетинаються по меншою мірою лише у точки. П3. (три неколлинеарные точки. П4. Пряма містить, по меншою мірою, три точки.

3.3. Моделі проективної площині. 1) Рассмотренная раніше розширена евклидовая площину є модель проективної площині. Доказ: Перевіримо виконання чотирьох аксіом П1-П4. П1. Нехай P і Q ([pic] 1. Якщо Р і Q — власні (), то них можна навести тільки один пряму. 2. Якщо Р — власна точка (, а Q- несобственная точка, то аксіомі А2 (пряма m, така, що Р (m і m || l, так, що Q (поповненню прямий m до прямий з (. Пряма m -єдина пряма (, через Р і Q. 3. Якщо Р і Q невласні (), то них проходить єдина несобственная пряма. П2. Нехай задано прямі l і m. 1. Если l і m — невласні прямі і l || m, всі вони перетинаються в деякою точці. Якщо l || m, всі вони перетинаються в невласної точці Р (. 2. Если l — власна пряма, а m — несобственная пряма, всі вони перетинаються в невласної точці Р (. П3. Безпосередньо випливає з А3. Слід лише перевірити, що й Р і Q і R неколлинеарны в Бо ж вони ні коллинеарны в (. Справді, в ((лише одне (несобсвтенная) пряма, не що належить А, але () Р, Q, R їй не належать. П4. Кожна пряма площині А містить хоча б дві (). Однак у (кожна пряма утримує ще й несобственную точку, тому вони містять щонайменше трьох точок. 2) Поповнюючи аффинную площину, А з чотирьох (), ми матимемо проективну площину S1 з семи точок. Доведемо це: Перевіримо виконання чотирьох аксіом П1-П4.

Визначимо () перетину прямих АВ (CD=N (, BC (AD=M (, АC (BC=P (N (, P (, M ((однієї невласної прямий. П1. За два різні () площині можна навести єдину пряму. Якщо А, В — власні (), то них можна навести тільки один пряму з А. () А, В (невласної прямий, тому й в S1 них можна провести єдину пряму. Розглянемо А- власна () і N (- несобственная (). Через ці точки проходить єдина пряма, оскільки () N (визначено як те що прямих АВ і CD (N ((АВ. Нехай маємо не власні точки, них проходить несобственная пряма S1 і її єдина. П2. (дві прямі перетинаються по меншою мірою лише у точці. Справедливість аксіоми П2 випливає з визначення S1. П3. (три неколлинеарные точки. Безпосередньо випливає з побудови аффинной площині А. А ми доповнили точками N (, P (, M ((несобственными, які належать однієї невласної прямий). І тому точки не коллинеарные в Киватимуть же неколлинеарные в S1. П4. Кожна пряма площині А містить хоча б дві точки. У S1 кожна пряма містить несобственную точку. Отже пряма в S1 містить не менше трьох точок. Усі аксіоми проективної площині виконуються, отже, S1 — проективна площину. 3) Зв’язка прямих евклидова тривимірного простору — модель проективної площині, побудованої на аксіомах П1-П4. 4) Насправді ж проективна площину (безліч упорядкованих трійок дійсних чисел, одночасно не рівних нулю), розглянута раніше, задовольняє аксіомам П1-П4. 3.4. Теорему Дезарга. Однією з важливих результатів проективної геометрії є теорема Дезарга, яка стверджує: П5 (теорема Дезарга) Якщо прямі які відбуваються через відповідні вершини двох трехвершинников перетинаються лише у (), то () перетину відповідних сторін цих трехвершинников лежать в одній прямой.

P=AB (A'B' AA'(BB'(CC'=0 Q=AC (A'C' R=BC (B'C' P, Q, R лежать в одній прямий. У межах теорії, що її будуємо, ні правильно називати це твердження «теоремою», оскільки не можна довести, виходячи тільки з аксіом П1-П4. Приймемо це твердження за аксіому П5. Хоча за першому та другому способі побудови проективної площині це твердження постає як теорема. Покажемо, що П5 не наслідком П1-П4, саме, побудуємо геометрію, що б аксіомам П1-П4, але з що б П5. Визначення: Конфігурацією називають безліч елементів, іменованих точками, й створили набір його підмножин, іменованих прямими, при цьому виконується аксіома. К1. Дві різні () належать лише одній прямій. Звідси випливає, дві різні прямі мають трохи більше однієї загальної точки Приклади: Будь-яка аффинная і (проективна площину є конфігураціями. Набір 10 крапок і 10 прямих теореми Дезарга — теж конфігурація. Нехай (0- деяка конфігурація. Ми визначимо вільну проективну площину П, породжену (0. Нехай (1- нова конфігурація, певна так. Точками (1 є точки (0. Прямими (1 є всі прямі (0; ще, кожна пара точок Р1, Р2((0 не що належить прямий з (0, задає нову пряму (Р1, Р2(з (1. Тоді (1 має наступним властивістю; а) (дві різні ()(1 належать одній прямій. Побудуємо (2, з (1, так. Точками (2 служать всі крапки (1; ще, кожна пара непересічних прямих l1, l2 задає новий кут l1(l2. Прямими (2 служать прямі (1, поповнені новими точками; наприклад, () l1(l2 (доповненим прямим l1 і l2. Тоді (2 має наступним властивістю. б) (дві різні прямі мають загальну точку; продовжимо це побудова. Для парних n ми побудуємо (n+1 з (n, додаючи до прямим (n нові прямі; для непарних n ми побудуємо (n+1 з (n, додаючи до () (n нових точок. Нехай тепер П= ((n Елементи конфігурацій (n ми назвемо точками П; далі, прямий П ми назвемо підмножина L (П, таке, що L ((n є прямий з (n всім досить великих n. Пропозиція 1: Якщо (0 містить по меншою мірою чотири точки, ніякі три із котрих належать одній прямій, то П — проективна площину. Доказ: (n задовольняє б) для парних n і задовольняє а непарних n (на П виконуються обидва властивості чи б), тобто П задовольняє П1 і П2. Якщо P, Q, R неколлинеарны на (0, отже, П3, теж виконується. Покажемо, що у П кожна пряма містить хоча б трикрапку. Кожна пряма з П визначається двома точками. По П2: (дві прямі мають загальну () Нехай l: (P1,P2(, m: (P3,Р4(; по П2: l (m=P5(P5(l, P5(m Одержимо, кожна пряма містить хоча б трикрапку. Усі аксіоми проективної площині виконуються (П- проективна площину. Визначення: Обмеженої конфігурацією називається конфігурація, у якої кожна () належить щонайменше ніж трьом прямим, а кожна пряма містить щонайменше різних точок. Приклад: Конфігурація теореми Дезарга обмежена. Пропозиція 2: (кінцева обмежена конфігурація з П міститься у (0. Доказ: Рівнем () Р (П ми назвемо найменше n (0,такое, що Р ((n. Рівнем прямий L (П ми назвемо найменше n (0, таке, що L ((n — пряма. Нехай (- обмежена кінцева конфігурація з П, і нехай n- максимальний з рівнів всіх крапок і всіх прямих з (. Припустимо, що n — рівень якийсь прямий L (((Якщо максимальний рівень досягається для точки, то доказ аналогічно). Тоді l ((n — пряма, а l ((n-1 перестав бути прямий. Якщо n=0, то ми все доведено, (((0. Припустимо, що n>0. Тоді l виникла як пряма, з'єднує дві () з (n-1, не належать в (n-1 одній прямій. Однак у (рівень всіх точок (n, отже, вони належать (n, тобто l містить не більше двох таких точок. Отримане у собі доводить наше пропозицію. Приклад: Недезаргова проективна площину. Нехай (0 складається з чотирьох крапок і зовсім позбавлений жодної прямий, П- вільна проективна площину породжена (0. Як слідства з попереднього пропозиції отримуємо, що П нескінченно; отже,(пряма містить нескінченно багато точок. Отже можна вибрати чотири () О, А, В, С, (троє фахівців з яких неколлинеарны, і далі А’на ОА, B «на ВВ, З' на ОС отже вони утворюють сім різних точок, причому A', B', C' неколлинеарны. Тоді побудуємо Р=АВ (А'В', Q=AC (A'C', R=BC (B'C'. Усі 10 точок різні. Якщо теорема Дезарга була правильна на П, то P, Q, R належали одній прямій, (10 () і десяти прямих утворили б обмежену конфігурацію; але вона мусила утримуватися в (0, а (0 містить лише чотири точки. Побудували геометрію, що б аксіомам П1-П4 і що б П5, цим показали, що П5 перестав бути наслідком П1-П4. 3.5. Принцип двоїстості Займемося вивченням властивостей проективної площині, що випливають із аксіом П1- П4. Пропозиція: Нехай П — проективна площину, П*- безліч прямих площині П; назвемо ще пучок прямих площині П прямий з П*. (здесь П*- це безліч елементів з П, званих прямими; пучком прямих називається сукупність всіх прямих, що пропливали деяку фіксовану точку- центр пучка). Тоді П* є також проективної площиною (назвемо її двоїстої до П проективної площиною); у своїй, якщо П задовольняє аксіомі П5, те й П* їй задовольняє. Слідство (принцип двоїстості). Нехай P. S- деяке твердження, що стосується проективної площині П, що може бути виведено з аксіом П1-П4 (відповідно П1-П5). Тоді «двоїсте «твердження P. S*, отримане з P. S заміною слів. точка (пряма лежить на жіночих (проходить через коллинеарные (сходящиеся точка перетину двох прямих (пряма, з'єднує дві крапки й т.д., також може бути виведено з аксіом П1-П4 (відповідно П1-П5). Визначення: Повним чотирикутником називається конфігурація, що перебуває з семи крапок і шести прямих, отриманих так: розглянемо чотири точки А, В, С, D (такі, будь-які троє фахівців з них неколлинеарны), шість що з'єднують їх прямих і трьох нових точок перетину цих прямих. («протилежних сторін «повного чотирикутника) Р=АВ (СD, Q=АС (ВD, R=АD (ВС.

Крапки Р, Q і R називаються діагональними точками повного чотирикутника. Діагональні точки P, Q і R може стати коллинеарными. Проте за дійсною проективної площині цього, може неспроможна. Ми переконаємося в цьому пізніше, поки розглядатимемо випадок коллинеарности діагональних точок як виняткове явище і тому введемо таку аксіому П7 (аксіома Фано). П7: Діагональні точки повного чотирикутника неколлинеарны. Пропозиція: Насправді ж проективна площину задовольняє аксіомі П7. Визначення: Повним четырехсторонником називається конфігурація, що перебуває з семи прямих та шість точок, отриманих так: розглянемо чотири прямі a, b, з, d (такі, що ніякі троє фахівців з них є сходящимися), шість точок їх перетину і трьох нові прямі p, q, r.

З'єднуючі пари протилежних вершин повного четырехсторонника прямі p, q, r називаються діагоналями повного четырехсторонника. Пропозиція: З те, що П7 виконується на П (, що П7* виконується на П*; тому принцип двоїстості застосуємо також слідством з П7. Доведемо П7*: П7* в термінах П означає: діагоналі повного четырехсторонника є сходящимися (не належать одному пучку). Нехай a, b, з, d- «боку «повного четырехсторонника; припустимо, що діагоналі p, g, r- сходящиеся. Але цього разі діагональні точки повного чотирикутника АВСD, де А=b (d, B=c (d, C=a (b, D=a (c коллинеарны, що суперечить П7. Отже твердження П7* справедливо. Зауважимо, що означає визначення четырехсторонника двояко визначенню повного чотирикутника. 3.6. Гармонійні четвірки точок. Визначення: Упорядкована четвірка різних коллинеарных точок А, В, С, D називається гармонійної четвіркою, якщо (повний чотирикутник XYZW, такий, що Проте й У є її діагональними точками (наприклад А=XY (ZW, B=XZ (YW), а З повагою та D належать двох інших сторонам чотирикутника (например, C (XW, D (YZ).

Для гармонійних точок А, В, С, D ми введемо позначення H (АВ, СD). З те, що точки А, В, С, D що утворюють гармонійну четвірку, різні, слід неколлинеарность діагональних точок визначального цю четвірку чотирикутника XYZW. Взагалі поняття гармонійної четвірки точок в значною мірою утрачає будь-який сенс, якщо аксіома Фано не виконується; тому, говорячи про гармонійної четвірці точок, ми завжди будемо припускати выполняемость П7. Пропозиція 1: Н (АВ, СD)(Н (BA, CD)(H (AB, DC)(H (BA, DC) Доказ: Це твердження негайно випливає з визначення гармонійної четвірки, оскільки Проте й У, З повагою та D грають однакову роль побудові повного чотирикутника. Справді, можна переставити літери X, Y, Z, W, так, аби навести позначення у відповідність із визначенням Н (ВА, СD) ч.т.д. Пропозиція 2: Нехай А, В, С- три різні точки прямий. Тоді (якщо виконується П7) (точка D, така, що Н (АВ, СD). Понад те (якщо виконується П5), можна стверджувати, що така точка D єдина (D називається четвертої гармонійної точкою для А, В, С чи точкою, гармонійно пов’язаною до точки З стосовно точкам Проте й У). Пропозиція 3: Нехай А, В, С, D- гармонійна четвірка точок. Тоді (якщо виконується П5) C, D, A, B- теж гармонійна четверка.

Об'єднуючи цю пропозицію з пропозицією 1, отримуємо: H (AB, CD)(H (BA, CD)(H (AB, DC)(H (BA, DC) H (CD, AB)(H (DC, AB)(H (CD, BA)(H (DC, BA) Доказ: Нехай Н (АВ, CD) і нехай XYZW- повний чотирикутник, з якою пов’язаний визначення цієї гармонійної четвірки. Проведемо DX і CZ і позначимо точку перетину через U. Нехай, далі XW (YZ=T. Тоді XTUZ- повний чотирикутник, а З повагою та D- дві його діагональні точки. Крапка В (XZ, тому досить довести, що TU проходить через А, позаяк у цьому випадку матимемо H (CD, AB). Розглянемо 2 трикутника XUZ і YTW. Пари їх відповідних сторін перетинаються в точках D, B і З, але це точки коллинеарны (по П5*, XY, TU, WZ що з'єднують відповідні вершини належать одному пучку. Приклад: На дійсною евклідовій площині чотири точки А, В, С, D утворюють гармонійну четвірку тоді й тільки тоді, когда

(АС/ВС)*(ВD/AD)=-1 3.7. Перспективні і проективні відображення. Визначення: Проективне відображення- це відображення прямий l на l «(можливо, збігається з l), яке, то, можливо представлено як композиція перспективних відбиття. Позначення: l — l' чи АВС…-А'В'С'… Остання запис означає, що проективне відображення переводить точки А, В, С,… соответственно в A », B ", З " ,… Проективне відображення встановлює взаємно однозначне відповідність між точками прямих l і l «і є відображенням на l «. Визначення: Перспективним відображенням прямий l безпосередньо l «(обидві прямі розглядаються як безліч точок) з центром Про (точка Про не належить ні l, ні l ») називається відображення А (A », де для довільній точки А (l точка, А «перебуває як ОА (l «. Позначення l = l' («l перетворюється на l «перспективним відображенням з центром в ()Про «. Зазначимо, що перспективне відображення встановлює взаємно однозначне відповідність між точками l і l «і є відображенням l на l «І що відображення, зворотне перспективному відображенню, є також перспективним відображенням. Якщо ()Х=l (l », то Х (як точка l) перетворюється на Х (як точку l »). Композиція двох чи більше перспективних відбиття не обов’язково буде перспективним відображенням: то маємо l = l' = l'' і ABCY = A’B’C’Y' = A''B''C''Y'' якби здобуту у результаті композиції відбиття l = l і l = l відображення l на l «' було перспективним, то точку l (l' «=Y воно мало б переводити у себе. Проте в перетворюється на точку Y «», яка збігаються з Y. Тому ми запровадили проективне отображение.

Пропозиція 1: Нехай, задана пряма l. Тоді безліч проективних перетворень (взаємно однозначне відображення безлічі М він називається перетворенням безлічі М). l утворює групу. Це означає, що 1) композиция двох проективних відбиття знову є проективне відображення. 2) отображение, зворотне проективному відображенню, знову є проективне відображення. Пропозиція 2: Нехай задана пряма l і нехай А, В, С і A ", B ", З «- дві трійки її різних точок. Тоді (проективне перетворення l, переводящее А, В, С в A », B ", З «. Доказ: Нехай l «- пряма яка від l і через Проте й А', а Про довільна точка не що належить ні l, ні l «. Спроектируем з Про точки A », B », З «прямий l в точки A'', B'', C'', прямий l': A «B «З «= A «» B «» З «», де А (l' і А''(l. Зрозуміло, що мені досить побудувати проективне відображення l на l', переводящее A, B, C, в A'', B'', C''.

Замінимо в позначеннях подвійні штрихи одинарними і забудемо про вихідні A', B', C'. Отже, наше завдання звелася до наступній. Задано дві різні прямі l і l'. Нехай А, В, С- три різні точки l, а A', B', C'-три різні точки l', припустимо що A (l' і A'(l. Потрібна побудувати проективне відображення l на l', переводящее А, В, С відповідно A', B', C'. Проведемо прямі AA', AB', AC', A'B, A'C і між іншим AB'(A'B=B'', AC'(A'C=C''. Означимо пряму B''C'' через l''; нехай вона перетинає AA' в A''. Тоді l = l'' = l' переводить ABC = A''B''C'' = A’B’C'.

Отже, ми побудували дані проективне відображення l на l' як композиція двох перспективних відбиття. Пропозиція 3: Проективне відображення переводить гармонійну четвірку точок в гармонійну четвірку. 3.8. Аксіома Паппа і полягала основна теорема про проективних перетвореннях прямий. Доведемо «основну теорему», яка стверджує, що є єдине проективне перетворення прямий, переводящее три задані точки і в будь-які інші три задані точки. Ця теорема годі було з аксіом П1-П5 і П7; тому доведеться додатково запровадити аксіому Паппа П6. Основна теорема (теорема про проективних перетвореннях прямий). Нехай задана пряма l і А, В, С; A', B', C'- дві трійки різних точок цієї прямий. Тоді існує одна і лише одна проективне перетворення l, таке, що АВС — A’B’C'. П6 (аксіома Паппа). Нехай l і l'-две різні прямі, А, В, С- три різні точки прямий l, які від Х=l (l'и А', В', С'- три різні точки прямий l', які від Х. Тоді точки P=AB'(A'B, Q=AC'(A'C, R=BC'(B'C коллинеарны.

Пропозиція 1: Аксіома П6 тягне у себе двоїсту аксіому Паппа П6*, тобто принцип двоїстості прийнятний і всім висновків з П6. Пропозиція 2: На дійсною проективної площині справедлива аксіома П6. Лема 1: Нехай l = m = n, де l (n, припустимо ще, що або: а) прямые l, m, n належать одному пучку, чи б) точки O, P і l (n коллинеарны. Тоді отримане проективне відображення l — n є перспективним (то є (така точка Q, що перспективне відображення l = n збігаються з нашими проективными отображениями l — n). Лема 2: Нехай l = m = n, Де l (n; припустимо тепер, що ні має місця утім ані б) з умов леми 1. Тоді (пряма m' і точки O'(n і P'(l, такі, що l = m = n є аналізованих проективне відображення l на n.

Доказ: Нехай l, m, n, O, P задано; нехай далі A, A'- дві крапки над l і AA' = BB' = CC'. Крапку перетину СР і n позначимо через O'. Оскільки ми припустили, що точки О, Р, l (n=X неколлинеарны, то O'(X, тобто O'(l. Проведемо O’A і O’A'; нехай вони перетинаються РС і РС' відповідно D і D'. Відповідні боку трикутників АBD і A’B’D' перетинаються в коллинеарных точках O, P, O'; отже, по П5*, прямі, що з'єднують відповідні вершини цих трикутників належать одному пучку. Таким чином, пряма m1, яка містить D і D', проходить через точку Y=l (m. Отже, пряма m1 визначено точками D і Y, і якщо точка A' змінюється, то D' змінюється, залишаючись на прямий m1. Тому вихідне проективне відображення збігаються з відображенням l = m1 = n. повторюючи той самий міркування вкотре, ми можемо перемістити Р в становище P'=OP (l і знайти нову пряму m', таку, що l = m'= n дає вихідне проективне відображення. Лема 3: Нехай l і l'- дві різні прямі. Тоді будь-яке проективне відображення l — l' то, можливо отримано як композиція двох перспективних відбиття. Теорему 1: Основна теорема випливає з аксіом П1-П6. Доказ: Для заданої прямий l і двох трійок різних точок А, В, С і A', B', C' цієї прямий ми мусять знайти проективне перетворення, переводящее одну трійку до іншої, і довести, що його єдино. Вибираємо пряму l', яка через задані крапки й спроектируем A', B', C' на l'. Означимо образи цих точок тими самими літерами A', B', C'. Отже ми звели теорему до наступній: маємо А, В, С на l A', B', C' на l' (всі крапки відмінні від l (l') потрібно показати, що (єдине проективне відображення, таке, що ABC — A’B’C'. Одне таке проективне відображення ми вже отримали пропозиції 2 (п. 3. 7); отже, досить показати, що будь-який інше проективне відображення збігаються з цим. Випадок 1: Припустимо, друге проективне відображення є просто перспективне відображення. Нехай l — l' переводить ABC = A’B’C'. Розглянемо P=AB'(A'B; нехай пряма l'' з'єднує Р з Q. Ми стверджуємо, що l'' проходить через точку Х=l (l'. Справді, застосуємо П5 до трикутниками AB’C' і A’BC, які перспективні з центром Про. Їх боку перетинаються в точках Р, Q, Х відповідно. Отже, l'' визначається точками Р і Х.

Та оскільки З не може змінюватися, перспективне відображення l = l' збігаються з проективним відображенням l = l'' = l' Випадок 2: припустимо, друге проективне відображення перестав бути перспективним. Тоді спрацьовує леми 3 може бути представлено як композиції двох перспективних відбиття, а силу леми 2 можна припустити, що центри цих відбиття належать відповідно l' і l. Отже, ми дійшли конфігурації: l = l'' = l' і ABC = A''B''C'' = A’B’C'

Застосовуючи П6 до трикутниками АBR і A’B’R', ми маємо, що Р=АB'(A'B (l''. Аналогічно, застосовуючи П6 до ACR і A’C’R', ми маємо, що Q=AC'(A'C (l''. Отже, l'' є прямий, котру було використано у пропозиції 2 (п. 3. 7) для побудови другого проективного відображення l = l'' = l' Нехай тепер D (l — довільна точка; визначимо D''=R'D (l''и D'=RD''(l'. З П6, застосовувану до трикутниками ADR і A’D’R', слід, що AD'(A «D, A'', D'' коллинеарны, тобто AD'(A'D (l''. Але це, що ще й проективне відображення пропозиції 2 переводить D в D'. Отже, ці проективні відбиття збігаються. ч.т.д. Теорему 2: П5 випливає з П6. Доказ: Нехай, О, A, B, C, A », B ", З «задовольняють пропозицій теореми Дезарга (П5), побудуємо P, Q, R. Аби довести їх коллинеарности доведеться тричі застосувати П6. Крок 1: Нехай A’C' перетинає АВ у точці P. S. Потім застосуємо П6 до прямым.

Про З C'

B P. S A і укладемо звідси, що точки T=OS (BC, U=OA (BC', Q коллинеарны. Крок 2: Застосуємо тепер П6 до трійкам O B B'

З' A' P. S і укладемо звідси, що точки U, V=OS (B'C', P коллинеарны. Крок 3: Застосуємо, нарешті, П6 до трійкам B З' U

V T P. S і укладемо звідси, що точки R, P=BS (UV (шаг2), Q=C'S (TU (шаг1) коллинеарны. ч.т.д.

Слідство: (з основний теореми). Проективне відображення l — l', де l (l', є перспективне відображення (точка перетину X=l (l' перетворюється на себя.

Глава 4. Застосування основних теорем вирішення завдань на евклідовій площині. 4.1. Використання теореми Дезарга на евклідовій площині. У аксіоматичному побудові проективної площині ми розглядаємо теорему Дезарга, як аксіому. Покажемо, що вона справедлива на евклідовій площині. Якщо дві однакові конфігурації, що складаються з крапок і прямих, можуть бути приведені у відповідність отже пари відповідних точок з'єднуються прямими, пересічними лише у точці, ми говоримо, ці дві конфігурації перспективні щодо цієї точці. Якщо відповідність таке, що пара відповідних прямих перетинаються в точках лежачих в одній прямий, то говоримо, ці дві конфігурації перспективні щодо цієї прямий. Сформулюємо теорему Дезарга, покажемо використання на евклідовій площині. При доказі користуватимемося теоремою Менелая. Теорему Менелая говорить: Якщо точки X, Y, Z що лежать на сторони ВС, СА, АВ (відповідно продовжених) трикутника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1 Назад, якщо це рівняння виконується для точок X, Y, Z, лежачих на трьох сторони трикутника, то ці трикрапку коллинеарны.

Теорему Дезарга.

Якщо два трикутника перспективні щодо крапки й якщо їх пари відповідних сторін перетинаються, то ці три () перетину коллинеарны. Доказ: Ми маємо теорему лише про належність () прямим і перетині прямих. Трикутники АВС і A’B’C' перспективні щодо точки Про, а пари їх відповідних сторін перетинаються в () R, Q, P. Для докази застосуємо теорему Менелая до трійкам точек.

(Q, C', A'(, (R, B', C'(, (P, A', B'(Лежачих на сторони трьох трикутників ОАС, ОСО, ОВА, одержимо у своїй (AQ/CQ)*(CC'/OC')*(OA'/AA')=1 (CR/BR)*(BB'/OB')*(OC'/CC')=1

(BP/AP)*(AA'/OA')*(OB'/BB')=1 Перемножимо ці три висловлювання й виконавши помірковане число скорочень, одержимо (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1(що () Q, R, P коллинеарны, теорема доказана.

4.2. Використання пропозиції Паппа на евклідовій площині. Покажемо використання пропозиції на евклідовій площині. Теорему Паппа: Якщо А, С, В — трикрапку в одній прямий, а A', C', B' - на інший, і якщо три прямі AB', CA', BC' перетинають прямі A’B, C'A, B'C відповідно, то трикрапку перетину P, Q, R коллинеарны.

рис. 1

Доказ: Ця теорема як і теорема Дезарга використовує приналежність точок прямим чи проходження прямих через точки, без виміру довжин чи кутів і навіть було без будь-якої посилання порядок; у кожному безлічі із трьох коллинеарных точок байдуже, яка їх лежить між двома іншими. (рис. 1, рис. 2)

рис. 2

При доказі користуватимемося теоремою Менелая. Припустимо, що три прямі AB', CA', BC' утворюють трикутник UVW. (рис. 3)

рис. 3

Застосовуючи теорему Менелая до п’яти трійкам точок (P, A', B (, (A, Q, C'(, (B', C, R (, (A, C, В (, (B', A', C'(, лежачих на сторони цього трикутника, ми маємо. (VP/WP)*(WA'/UA')*(UB/VB)=1 (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1 (VB'/WB')*(WC/UC)*(UR/VR)=1 VB «/WB »)*(WA «/UA »)*(UC «/VC »)=1 (VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC'/VC')=1 Розділивши твір перших трьох співвідношень на твір останніх двох, виробляючи скорочення, ми получаем:

(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1 тобто P, Q, R коллинеарны, теорема доказана.

Додаток № 1. Якщо два трикутника перспективні щодо крапки й пари відповідних сторін рівнобіжні, те й дві решта боку рівнобіжні. Дано: трикутник PRQ і трикутник P’R’Q' перспективні щодо точки Про. QR||Q'R', PR||P'R' Довести що: QP||Q'P'

Доказ: Оскільки QR||Q'R' і RP||R'P', то (OQ/OQ')=(OR/OR')=(OP/OP') ((OQ/OQ')=(OP/OP') (QP||Q'P'

№ 2. Назовите два трикутника перспективних щодо: а) точки Р б) точки Р' в) точки D

Відповіді: а) трикутники ROQ і EP’F б) трикутники EFP і R’Q’O' в) трикутники R’RE і Q’QF.

№ 3. Якщо А, С, Е — трикрапку в одній прямий, B, D, F- в інший, і якщо прямі АВ і CD рівнобіжні прямим DE і FA відповідно, то прямі EF||BC.

1) АС||BD. Розглянемо паралелограм ABDE і AFDC (BD=AE і DF=AC.

Зробимо віднімання BD-DF=BF; AE-AC=CE (BF=CE (BCEF — паралелограм (EF||BC.

2) AC (BD=0, оскільки AB||ED і CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и

(|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) отримуємо |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF| ((|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) (EF||CB.

№ 4. Нехай A, B, D, E, N, M — шість точок, які мають тим властивістю, що прямі AE, DM, NB перетинаються лише у точці, й прямі АМ, DB, NE перетинаються лише у точці. Що сказати про прямих AB, DE, NM?

Рішення. Нехай AE (DM (NB=C, AM (DB (NE=F позначимо () перетину прямих АВ і DE через L. По теоремі Паппа ()L (MN (AB (DE (MN=L. Прямі AB, DE, NM перетинаються лише у точке.

№ 5. Довести, що медіани трикутника перетинаються лише у точці. AA'(BB'(CC'=S? Рішення: Розглянемо трикутник АВС і трикутник А1В1С1- дезарговые трикутники, тобто трикутники задовольняють теоремі Дезарга.

AB (А1В1=P (BC (В1С1=Q (AC (А1С1=R (лежать в одній невласної прямий P. S (по зворотної теоремі Дезарга прямі, які відбуваються через відповідні вершини, перетинаються лише у точці P. S. AA'(BB'(CC'=S. № 6. У евклідовій площини у чотирикутник вписано трапеція, паралельні боку якої || його діагоналі. Довести, що непараллельные боку трапеції перетинаються в інший диагонали.

Рішення: трикутники NCK і AMP дезарговые трикутники по прямий теоремі Дезарга, відповідні боку цих трикутників перетинаються в ()-ох, лежачих в одній прямий (()F, D, B, тобто () перетину непараллельных сторін трапеції належать діагоналі BD. № 7. У евклідовій площині протилежні вершини одного паралелограма розташовані відповідно на протилежних сторони другого. Довести, що обидві паралелограма мають загальний центр симетрії. Потрібна довести, що LN (MK (BD (AC=S Решение.

AC (LN (BD — трикутники ALD і СNB — дезарговые трикутники задовольняють зворотної теоремі Дезарга (AC (LN (BD=S. Трикутники DKC і BMA — дезарговые трикутники по зворотної теоремі Дезарга (MK (BD (AC=S Отримали AC (BD (MK (LN=S. Обидва паралелограма мають загальний центр симметрии.

№ 8. У евклідовій площині дано трикутник і трьох паралелограма, для кожного у тому числі один бік трикутника служить діагоналлю, а дві інші - суміжними сторонами. Довести, що другі діагоналі цих паралелограмів перетинаються лише у точці. Потрібна довести, що AN (BP (CM=S. Рішення: Трикутники ABC і NPM — дезарговые треугольники.

AB (NP=Q (BC (MP=R (AC (NM=K (лежать в одній невласної прямий P (по теоремі зворотної теоремі Дезарга NA (BP (CM=S. № 9. У трикутнику АВС з його вершин проведено прямі, пересічні в однієї () P. S; A'=AS (BC, B'=BS (AC, C'=CS (AB. Довести, що точки BC (B'C', AC (A'C', AB (A'B' лежать в одній прямий. Решение.

Означимо () перетину сторін BC (B'C', AC (A'C', AB (A'B' відповідно P, R, Q. Розглянемо трикутники АВС і А’В’С' прямі які відбуваються через вершини цих трикутників перетинаються в () P. S (() перетину відповідних сторін P, R, Q лежать в одній прямий. № 10. У конфігурації Дезарга жодну з точок вибрати за дезаргову точку. Знайти у цій конфігурації вершини дезарговых трикутників і дезаргову прямую.

Крапка А- дезаргова точка Трикутники A’RP і SCB — дезарговы трикутники A'(S SC (A'R=C' R (C SB (A'P=B' P (B CB (RP=Q. Крапки C', B', Q (S — дезаргова пряма. № 11. Сформулювати в термінах евклідовій геометрії теорему Дезарга для випадку: 1) ()P. S (- несобственная (), дезаргова пряма P. S — собственная.

Формулировка теореми Дезарга: Якщо прямі які відбуваються через відповідні вершини двох трикутників рівнобіжні, то точки перетину відповідних сторін лежать в одній прямий. 2) ()P.S власна, пряма P. S (- несобственная. Формулювання. Якщо прямі, походящие через відповідні вершини двох трикутників АВС і А’В’С' перетинаються лише у точці, й AB||A'B', B’C||BC, то AC||A'C'.

3) ()P. S (- несобственная, пряма P. S (- несобственная. Формулювання. Якщо прямі які відбуваються через відповідні вершини двох трикутників паралельні й AB||A'B', BC||B'C', то AC||A'C'.

№ 12. Пряма p у площині трикутника АВС; К=ВС (p, L=AC (p, M=AB (p, R=BL (CM, S=CM (AK, T=AK (BL. Довести, що прямі AR, BS і CT перетинаються лише у точці. Потрібна довести, що AR (BS (CT=Q

Рішення Трикутники АВС і RST — дезарговы трикутники. RS (AB=M TS (BC=K () M, K, L (з (за умовою) TR (AC=L Отже, по теоремі зворотної теоремі Дезарга AR (BS (CT=Q.

№ 13. Дани прямі a і b, пересічні у точці P. S, що лежить за межами креслення. Дана ()З не що на жодному з наведених даних прямих. Побудувати пряму SC. Построение.

Вибираємо довільно пряму p. s, () A, A'(a і ()В (b. 1) AB (s=P, 2) PA'(b=B', 3) AC (s=R, 4) BC (s=Q, 5) A'R, B’Q, 6) B'Q (A'R=C', 7) CC' бажана пряма. Доказ: Трикутники АВС і А’В’С' - дезарговы трикутники, пряма p. s — дезаргова пряма. AB (A'B'=P AC (A'C'=R (p.s (з побудови) BC (B'C'=Q По зворотної теоремі Дезарга AA'(CC'(BB'=S. № 14. Дани дві точки P і Q і через них пряма з. побудувати () PQ (C, не проводячи PQ. Аналіз: Довільно вибираємо пряму p. s, ()Q1(C, Q QQ1Q2 — трехвершинник, побудувати РР1Р2 — трехвершинник, P1(C, PQ (P1Q1(P2Q2=S Зворотний теорема Дезарга. Побудова: 1) QQ1(s=X 2) PX (C=P1 3) Q1Q2(s=Y 4) QQ2(s=Z 5) YP1 6) ZP (YP1=P2 7) P2Q2(c=S ()P.S — бажана точка. Доказ: Трикутники QQ1Q2 і PP1P2 — дезарговы. QQ2(PP2=Z QQ1(PP1=X (P.S (з побудови). Q1Q2(P1P2=Y По зворотної теоремі Дезарга. PQ (P1Q1(P2Q2=S (PQ (c=S бажана точка.

№ 15. На евклідовій площині дано дві паралельні прямі a||b і край З, не що належить. Через () З провести пряму, паралельну чи b. 1) Аналіз: Довільно вибираємо пряму p. s. ()А, А'(а, ()В (b. Тут працює зворотна теорема Дезарга для випадку ()P. S (- несобственная, пряма p. s — власна. Трикутники АВС і А’В’С' - построить.

2) Построение:

1)АВ (s=P

2) A’P (b=B'

3) AC (s=R

4) BC (s=Q

5) A’R, B’Q

6) A’R (B'Q=C'

7) CC' - бажана пряма. 3) Доказ: Трикутники АВС і А’В’С'- дезарговы Формулювання зворотної теореми Дезарга. Якщо прямі, містять відповідні боку трикутників АВС і А’В’С' перетинаються в точках лежачих в одній прямий і АА'||BB', то СС'||AA'. З цієї теоремі СС'- бажана прямая.

№ 18. Трапеція ABCD пересічена прямими p і q, паралельними підставі АВ, p (AD=M, p (AC=P, q (BD=N, q (BC=Q. Довести, що вищу точку MN (PQ лежить на жіночих прямий АВ. Потрібна довести, що MN (PQ (AB=K. Рішення: Розглянемо трикутники МРА і NQB. МР (NQ=S (, оскільки p||q. (p (q=S () PA (BQ=C AM (BN=D DC||p||q (DC (p (q=S ((C, D, S ((одній прямій по теоремі зворотної теоремі Дезарга MN (PQ (AB=K. Тим самим було довели, що вищу точку МN (PQ (AB. № 17. У евклідовій площині дано паралелограм АВСD, ()Р (CD і пряма l яка перетинає боку АВ і АD. Провести пряму || l. 1) Аналіз: Трикутник ANM побудований. Побудувати трикутник СРК. Завдання вирішується питання з допомогою прямий теореми Дезарга.

2) Построение:

1) NP, AC

2) NP (AC=S

3) MS (BC=K

4) KP- бажана пряма. 3) Доказ: трикутники ANM і CPK — дезарговы, оскільки AN (CP=R ((AN||CP), CK (AM=Q ((CK||AM) то теоремі Дезарга KP (NM=F ((KP||NM.

Список літератури 1. Р. Хартсхорн «Основи проективної геометрии». -М:Мир, 1970. 2. Єфімов «Вища геометрия"-: Наука, 1971. 3. Франгулов С. А. «Лекції по проективної геометрии"-Л: ЛГПИ, 1975. 4. Вахмянина О. А., Ізмайлова Т.С. «Допомога за проективної геометрии" —

Оренбург: ОГПИ, 1994. 5. Коксетер С. М. «Нові зустрічі з геометрией"-М: Нуака, 1978 6. Базылев «Геометрия"-М: Просвещение, 1975 7. Потоцький «Що вивчає проективна геометрія «-М:

Просвещение, 1982 8. Певзнер «Проективна геометрия"-М: Просвещение, 1980 9. Ізмайлова Т.С. Лекційний курс по проективної геометрії. ----------------------- В

С

А

D

s

R

Q

C

C???'

b

B

B'

c

A

A'

D

C

Q

B

q

N

P

M

K

A

p

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой