Макроекономічні показники України
2013 рік
• Зростання ВВП: -0.8%
• Інфляція: 0.5%
• Безробіття: 8.0%
2012 рік
• Зростання ВВП: 0.2%
• Інфляція: -0.2%
• Безробіття: 8.1%
2011 рік
• Зростання ВВП: 5.2%
• Інфляція: 4.6%
• Безробіття: 8.6%
Зворотній зв'язок
Замовити
загрузка...

Головна:РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНИВЕРСИТЕТ

“ ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ИНСТИТУТ”

Кафедра “Системи і Процеси Управления”

ЗВІТ про науково-дослідної курсової роботу з численным методам на задану тему : « РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ

АДАМСА – БАШФОРТА »

Виконав студент гр.И-29 Уханов Е.В.

Руководитель работы

Д.т.н. проф Бреславский Д.В.

Харків 2001

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..3

1. Постановка завдання …………………………………………………………4

2. Методи решения………………..…………………………………………6

2.1. Метод прогнозу і корекції …………………………………………6

2.2 Модифікований метод Гаусса ………………………………….12

3. Опис алгоритму ………………………………………………………14

4. Опис програми ……………………………………………………..15

5. Приклади розрахунків ………………………………………………………...17

5.1. Рішення одного диференціального рівняння …………………...17

5.2. Рішення системи диференційних рівнянь ………………….19

Укладання ……………………………………………………………………20

Список використаної літератури ………………………………………..21

Додаток 1 …………………………………………………………………22

Додаток 2 …………………………………………………………………23

Додаток 3 …………………………………………………………………24

Додаток 4 …………………………………………………………………25

ВВЕДЕНИЕ

У багатьох галузях науку й техніки , і навіть галузях наукомісткої промисловості , як-от : авіаційна , космічна , хімічна , енергетична , - є вельми поширені завдання прогнозу перебігу процесів , із подальшою їх корекцією .

Рішення що така завдань пов'язаний із необхідністю використання про чисельні методів , як-от : метод прогнозу і корекції , метод Адамса- Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , та інших. У цьому , поставлено завдання рішення системи лінійних диференційних рівнянь першого порядку одним з методів інтегрування , на довільному проміжку часу . Однією з оптимальних методів дають високу точність результатів – є п'яти точковий метод прогнозу і корекції Адамса-Башфорта . На підвищення точності методу використовується трьох точковий метод прогнозу і корекції з автоматичним вибором кроку , що зумовлює универсальному методу інтегрування систем диференційних рівнянь довільного виду на будь-якому проміжку інтегрування .

Розробка програмних засобів що реалізують розрахунок точного прогнозу перебігу процесів , є важливим допоміжної науково- технічної завданням .

Метою згаданої курсової роботи є підставою розробка алгоритму рішення систем лінійних диференційних рівнянь першого майже п'ять точковим методом прогнозу і корекції Адамса-Башфорта .

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Розглянемо довільну систему лінійних диференційних рівнянь першого порядку :

[pic] (1.1)

тогда як :

А = [pic]

(1.2)

де А задана матриця розміром N x N . [pic] - вектор з N координатами , який підлягає визначенню ; N – довільне ціла кількість ; [pic]

- задані вектора правих частин з N координатами .

З використанням методу прогнозу і корекції Адамса-Башфорта п'ятого порядку , необхідно одержати значення невідомих для заданих тимчасових інтервалів . Для стартования методу необхідно використовувати метод прогнозу і корекції третього порядку зі змінним кроком , на заданих тимчасових проміжках ..

2. МЕТОДИ РЕШЕНИЯ

2.1. Метод прогнозу і коррекции

Метод прогнозу і корекції належить до завдань класу Коші , саме до численным рішенням многошаговыми методами .

Розглянемо завдання Коші :

[pic] , [pic]

(2.1.1) Підставимо в (2.1.1) точне рішення y(x) , і проинтегрируем це рівняння на відрізку [pic] , тоді одержимо : [pic] (2.1.2)

де у останньому член припускаємо , що p(x) поліном , аппроксимирующий f(x,y(x)) . Щоб побудувати цей поліном , припустимо , що [pic] - наближення до вирішення в точках [pic] . Будемо вважати спершу , що вузли Xi розташовані рівномірно з кроком h . тоді fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) є наближення до f (x,y(x)) в точках [pic] і ми ролі P візьмемо интерполяционный поліном для вибору даних (xi,fi) , ( і =k,k-1,k-2,…,k-N) . Отже , P – поліном ступеня N , задовольняє умовам P(xi)=fi , ( і = k,k-1,k-2,…,k-N) . У принципі так , можемо проинтегрировать цей поліном явно , що веде ось до чого методу :

[pic]

(2.1.3)

У найпростішому разі , коли N=0 , поліном P є константа , рівна fk , і (2.1.3) перетворюється на звичайний метод Эйлера :

[pic]

(2.1.4)

Якщо N=1 , то P є лінійна функція , через точки (xk-1,fk-1) і (xk,fk) , т.е.

[pic] (2.1.5) інтегруючи цей поліном від Xk до Xk+1 , одержимо наступний метод :

[pic] (2.1.6) що є двухшаговым , оскільки використовує інформацію в двох точках xk і xk-1 . Аналогічно , якщо N=2 , то P - є кубічний интерполяционный поліном , а відповідний метод визначається формулою :

[pic] (2.1.7)

Зазначимо , що метод (2.1.6) – є метод Адамса-Башфорта другого порядку , (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядку .

Для стартования методу (2.1.7) необхідні інформацію про чотирьох попередніх точках . Відповідно даний метод вимагає обчислення стартующих даних . Скористаємося перебування другий точки одношаговым методом Эйлера , який має вигляд :

[pic]

Отже , підставляючи початкові умови, ми бачимо другу точку . Слід зазначити , що ступінь точності збігається з ступенем точності інших методів , що є істотним чинником в стартовании методу прогнозу і корекції .

Через те , що стартові методи мають нижчий порядок , на початку доводиться вважати із меншим кроком, і з допомогою більшого проміжку часу . У разі метод Эйлера задля її подальшого інтегрування не відшкодовується . Для цього скористаємося трехшаговым методом прогнозу і корекції зі змінним кроком .

Міркуючи також , як методу Адамса-Башфорта , який викладається на роботах : [1],[2],[3] , ми ми дійшли формулам :

Прогноз :

[pic]

(2.1.8)

Корекція :

[pic] (2.1.9) де h - крок інтегрування , змінюється на малому проміжку часу у відповідність до умовами Рунге :

[pic] , де у своє чергу [pic] - мале конкретне значення , при невиконанні умови якого збільшується крок h=h*N а [pic]- мале конкретне значення , при невиконанні умови крок відповідно зменшується h=h/N , де N - деяке ціла кількість більше одиниці .

Оптимально , для обчислення нової точки , з допомогою методу прогнозу і корекції , використовується формула :

[pic] (2.1.10)

Отже, ми скористалися простим трьох шаговым методом прогнозу і корекції , для стартования методу Адамса-Башфорта . Переваги цього методу полягають :у його високій точності , авто доборі кроку , що з багаторазово підвищує точність самого методу Адамса- Башфорта , і робить її оптимальним для завдань що така .

Метод Адамса-Башфорта використовує вже полічені значення точці Xk й у попередніх точках . У принципі так , при побудові интерполяционного полинома , ми можемо використати і точки Xk+1,Xk+2,… . Найпростіший випадок у своїй состаит використання точок Xk+1,Xk,…,Xk-N і побудови интерполяционного полинома ступеня N+1 , задовольняючого умовам P(Xi)=fi , (I=k+1,k,…,k-N) . У цьому виникає клас методів , відомі як методи Адамса-Моултона . Якщо N=0 , то p – лінійна функція , через точки (Xk,fk) і (Xk+1,f k+1) , і відповідний метод :

[pic] (2.1.11) є методом Адаиса-Моултона [2] , саме їм ми скористалися у формулі (2.1.9) – корекції прогнозованої точки у трьох шаговом методі . Якщо N=2 , то p – кубічний поліном , побудований за точкам [pic] і відповідні метод :

[pic] (2.1.12) є методом Адамса-Моултона четвертого порядку . У силу того , що у суті fk+1 – невідома , то методи Адамса-Моултона (2.1.11); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (2.1.12) називають неявними . У водночас методи Адамса-Башфорта – називають явними .

Тепер скориставшись явною формулою (2.1.7) , і неявній формулою (2.1.12) , застосовуючи їх спільно , ми дійшли методу Адамса-Башфорта четвертого порядку :

[pic] (2.1.13)

[pic]

[pic]

[pic]

Слід звернути увагу , у цілому цей метод є явним . Спочатку за такою формулою Адамса-Башфорта обчислюється значение[pic] , що є “прогнозом” . Потім [pic] використовується для обчислення наближеного значення [pic] , що у своє чергу використовують у формулі Адамса- Моултона . Отже формула Адамса-Моултона “коригує” коригує наближення , зване формулою Адамса-Башфорта .

Тепер на довільну систему лінійних диференційних рівнянь першого порядку :

[pic] где

A = [pic]

Задана матриця розміром NxN ; [pic] - вектор з N координатами , який підлягає визначенню . У зв'язку з тим , що зв'язок між шуканими невідомими визначається матрицею коефіцієнтів A , кожному кроці по часу , вирішити систему щодо невідомих швидкостей , його рішення скористаємося модифікованим методом Гаусса , який описаний розділ 2.2 .

Далі, інтегруючи спочатку раніше описаними методами : методом Эйлера першою кроці , трьох точковим методом прогнозу і корекції з авто добором кроку , на малому проміжку часу й малим початковим кроком , підвищення точності стартующих методів на останньому проміжку часу виробляємо інтегрування з їх постійним кроком – п'яти точковим методом прогнозу і корекції Адамса-Башфорта (2.1.13) , [2] , [3] .

2.2 Модифікований метод Гаусса

Як типовий приклад рішення систем лінійних диференційних рівнянь , розглянемо систему чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь .

Аби вирішити системи чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими модифікованим методом Гаусса необходимо

Скласти систему : [pic](2.2.1)

1) Кожне рівняння ділитися на коефіцієнт при X1

[pic]

2) Тепер створюємо нулі у першому стовпці матриці системи : віднімаємо 2-ое з 1-ого , 3-тє з 2-ого , 4-ое з 3-его :

[pic]

(2.2.2)

3) Повторивши вкотре ці операції одержимо систему двох рівнянь з цими двома невідомими , яке можна отримати роботу по формулам Крамера :

[pic]

(2.2.3)

А рішення X1 і X2 можна отримати роботу , підставивши в якийсь з рівнянь систем (2.2.1) і (2.2.2) і дозволивши ці рівняння щодо відповідної перемінної .

3.ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Програма починається з виведення повідомлення про програму . Після відбувається зчитування необхідних вихідних даних із файла , для подальшої працездатності алгоритму , саме – початкових умов і матриці коефіцієнтів системи лінійних диференційних рівнянь першого роду , початкового кроку інтегрування , лівого і правого умов Рунге , час інтегрування по трьох шаговому методу прогнозу і корекції , час інтегрування за п'ятьма крапковому методу Адамса-Башфорта .

З допомогою методу Эйлера знаходимо додаткові початкові умови. Рішення систем лінійних диференційних рівнянь ми описуємо окремої процедурою , що полегшує подальшу алгоритмізацію .

Далі складаємо цикл , для реалізації алгоритму перебування всіх Yk+1 точок на заданому малому проміжку часу , і перевіркою на умови Рунге , по трьох шаговому методу прогнозу і корекції з авто добором кроку . Після цього ми організовуємо цикл , який реалізує алгоритм перебування точок методом Адамса-Башфота , на заданому великому проміжку часу й з кроком автоматично підібраним попереднім методом .

Обчислені дані записуємо файл , із них формуємо масив даних , які виводимо в сответствии з масштабированием на екран як графіків .

Блок-схема приведено в Додатку 1 .

4.ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

Програма реалізує універсальний алгоритм на вирішення систем лінійних диференційних рівнянь першого порядку довільного виду , - побудована на засадах объектно-ориентированного програмування .Основна програма побудовано об'єктної бібліотеці VFH , реалізує можливості реалізації гнучкого інтерфейсу між програмою і користувачем .

Основна програма включає у собі лише одне модуль PACM , і використовує усього дві методу об'єкта TApplPandC , - метод Application - робочий цикл програми ; деструктор Done – реалізує руйнація таблиці віртуальних методів , і операцій , що з завершенням програми .

Модуль PACM включає у собі модулі бібліотек - що реалізують побудова інтерфейсу . Модуль який реалізує алгоритм методу Адамса-Башфорта , і з вычесленным даним що зводить графік , є – PACMBtn .

Головним батьком на всі об'єкти є об'єкт – Tobject . Основним робочим об'єктом бібліотеки VFH є об'єкт Tform . Розглянемо нащадка що є типовим представником батька TForm - TApplPandC . Він має дві виртуалых методу : MouseHandler : Boolean Б – вихідним параметром якого є ознакою закриття форми , і метод FormCreate - який реалізує побудова інтерфейсу форми . Не віртуальний метод Application - призначений до створення форми , конфигурирования програмної середовища , й подальшого управління програмою .

Модуль який реалізує створення умов та управління головного і субменю , є – PACMMenu , дозволяє користувачеві змінювати параметри і настрою системи , що дає довідку про разработчике , і навіть дає доступом до довідкової системі PrandCo M Help System . Дані властивості меню реалізують об'єкти TMenu , і THelpForm , об'єктної бібліотеки VFH .

Тепер на модуль PACMBtn – рреализующий алгоритм побудови вирахуваних даних . Процедура реалізує алгоритм п'яти точечної методу прогнозу і корекції Адамса-Башфорта , - MethodAdamsaBashforta ( h,tp,ta : real ; NU : array[1..N] of real ) – параметри якої представляють : h - початковий крок інтегрування ; tp – час інтегрування трьох точковим методом прогнозу і корекції , ta – час інтегрування методом Адамса- Башфорта , NU – масив початкових умов . Ця процедура здатна виробляти рішення систем лінійних диференційних рівнянь довільного розміру , на довільному проміжку часу інтегрування . Обчислені дані записуються в файли prandcom*.df . Метод який реалізує алгоритм побудови вирахуваних даних довільній ступеня складності , з побудови графіків з не лінійно змінюваним кроком , побудови одночасно будь-якого кількості графіків , - є об'єкт TCartFile , який володіє усіма властивостями батьків Tform , Tchart .

До висновку слід зазначити , що ваша програма PrandCo M version 2.41 - розроблена мовою Borland Pascal під захищений режим роботи процесора і має доступ до всієї оперативної пам'яті комп'ютера . Реалізує гнучкий інтерфейс , полегшуючим роботи з програмним забезпеченням . Дозволяє вирішити систему лінійних диференційних рівнянь першого порядку методом Адамса-Башфорта , з можливість перегляду результатів обчислення як графіків .

Як засвідчили тестові програми – розроблений алгоритм надає точність обчислень , похибка яких становить менше 1% .

Тексти програмної оболонки PrandCo M version 2.41 наведені у додатку 4 .

5.ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ

Для аналізу достовірності отриманих результатів розглянемо такі приклади :

5.1.Решение одного диференціального уравнения

Першим етапом аналізу достовірності була перевірка правильності рішення одного диференціального рівняння . Отримане чисельна рішення порівнюється зі аналітичним .

Нехай потрібно вирішити рівняння :

[pic] при початковому умови y(0)=1 , 04 A>>1I5=8O

!G8BK20=85 40==KE 87 D09;0

Yn:=Yn_1+h*dYn

T

Головна:РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА