Курсовая робота з прикладної математике

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Міністерство загального користування та професійного образования

Російської Федерации

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

ІНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Контрольна робота з дисципліни «Прикладна математика»

Спеціальність Бухгалтерський облік і аудит

Курс 2-й

Група БуиА-6−99/2

Студент

Студентський квиток №

ВАРІАНТ № 25

|Адрес | | | | | | | | | |

" «травня 2001 г.

Перевірив: ____________________/ / «___"_______________2001г.

Москва 2001 р. Завдання № 1. Лінійна виробнича завдання. Підприємство може випускати чотири виду продукції, використовуючи при цьому три виду ресурсів. Відомі технологічна матриця, А витрат будь-якого ресурсу на одиницю кожної продукції, вектор У обсягів ресурсів немає і вектор З удільної прибыли

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 У= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

Найти виробничу програму (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибуток z=31×1+10×2+41×3+29х4

Затраты ресурсів 1-го виду виробничу программу

4х1+0×2+8×3+7×4?316 Витрати ресурсів 2-го виду виробничу программу

3х1+2×2+5×3+х4?216 Витрати ресурсів 3-го виду виробничу программу

5х1+6×2+3×3+2×4?199 Имеем

4х1+0×2+8×3+7×4?316

3х1+2×2+5×3+х4?216 (1)

5х1+6×2+3×3+2×4?199 де за змісту завдання х1?0, х2?0, х3?0, х4?0. (2) Отримано завдання на перебування умовного экстремума. Для її вирішення систему нерівностей (1) з допомогою додаткових невідомих х5, х6, х7 замінимо системою лінійних алгебраїчних уравнений

4х1+0×2+8×3+7×4+х5=316 (I)

3х1+2×2+5×3+ х4+х6=216 (II) (3)

5х1+6×2+3×3+2×4+х7=199 (III) де додаткові перемінні мають сенс залишків відповідних ресурсів, саме х5 — залишок сировини 1-го виду, х6 — залишок сировини 2-го виду, х7 — залишок сировини 3-го виду. Серед усіх рішень системи рівнянь (3), які відповідають умові неотрицательности х1?0, х2?0, х3?0, х4?0, х5?0, х6?0, х7?0 (4) треба знайти те рішення, у якому функція z=31×1+10×2+41×3+29×4 матиме найбільше значение

Организуем спрямований перебір базисних рішень з допомогою симплекс методу. З функції z (x) видно, що нині найвигідніше розпочати виробництво з 3-го ресурсу. Знайдемо провідне рівняння: bi 316 216 199 316 min ------- = ----- ----- ----- = ----- ai3>0 8 5 3 8

Примем I-е рівняння за провідне. Вирішуємо симплекс методом: |З |Базис|Н |31 |10 |41 |29 |0 |0 |0 |Поясне| | | | | | | | | | | |-ния | | | | |х1 |х2 |х3 |х4 |х5 |х6 |х7 | | |0 |х5 |316 |4 |0 |8 |7 |1 |0 |0 | | |0 |х6 |216 |3 |2 |5 |1 |0 |1 |0 | | |0 |х7 |199 |5 |6 |3 |2 |0 |0 |1 | | |? |z0-z |0-z |-31 |-10 |-41 |-29 |0 |0 |0 | | |41 |х3 |39,5 |½ |0 |1 |7/8 |1/8 |0 |0 | | |0 |х6 |18,5 |½ |2 |0 |-27/8|-5/8 |1 |0 | | |0 |х7 |80,5 |7/2 |6 |0 |-5/8 |-3/8 |0 |1 | | |? |z0-z |1619,5|-21/2|-10 |0 |55/8 |41/8 |0 |0 | | |41 |х3 |28 |0 |-6/7 |1 |54/56|10/56|0 |-1/7 |Усі | | | | | | | | | | | |?j?0 | |0 |х6 |7 |0 |8/7 |0 |-23/7|-4/7 |1 |-1/7 | | |31 |х1 |23 |1 |12/7 |0 |-10/5|-6/56|0 |2/7 | | | | | | | | |6 | | | | | |? |z0-z |1861 |0 |8 |0 |5 |4 |0 |3 | |

Оптимальная виробничу програму: х1=23, х2=0, х3=28, х4=0 Залишки ресурсов:

Першого виду — х5=0;

Другого виду — х6=7;

Третього виду — х7=0 Максимальна прибуток zmax=1861 Звернений базис Q-1

10/56 0 -1/7 Q-1= -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7×5×6×7 Базис Q

8 0 4 Q= 5 1 3

3 0 5×3×6 х1

Самопроверка.

10/56•8+0•5−1/7•3 10/56•0+0•1−1/7•0 10/56•4+0•3−1/7•5

1 0 0 Q-1 •Q= -4/7•8+1•5−1/7•3 -4/7•0+1•1−1/7•0 -4/7•4+1•3−1/7•5 = 0

1 0

-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5

0 0 1

10/56•316+0•216−1/7•199 28 Q-1 •B= -4/7•316+1•216−1/7•199 = 7

-6/56•316+0•216+2/7•199 23 Завдання № 2. Двоїста завдання. Підприємець Петров, займається виробництвом інших напрямів продукції, але з допомогою 3-х так само видів ресурсів, які маємо ми, пропонує нам продати йому за певним цінами всі в нас ресурси, і обіцяє заплатити у1 кожну одиницю 1-го ресурсу у2 кожну одиницю 2-го ресурсу у3 кожну одиницю 3-го ресурсу. У нашій завданню технологічна матриця А, вектор обсягів ресурсів У і вектор удільної прибутку З мають вид

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 У= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

для виробництва одиниці виробленої продукції 1-го виду ми повинні затратити, очевидно з матриці А 4 одиниці ресурсу 1-го виду, 3 одиниці ресурсу 2-го виду, 5 одиниць ресурсу 3-го виду. У цінах у1, у2, у3 наші витрати составят

4у1+3у2+5у3?31 Аналогічно, у 2-му стовпці матриці А вказані витрати різних ресурсів на виробництво одиниці виробленої продукції 2-го вида

2у2+6у3?10 Аналогічно, 3-му стовпці матриці А вказані витрати різних ресурсів на виробництво одиниці виробленої продукції 3-го вида

8у1+5у2+3у3?41 Аналогічно, у четвертому стовпці матриці А вказані витрати різних ресурсів на виробництво одиниці виробленої продукції 4-го вида

7у1+у2+2у3?29 Візьмімо до уваги, що за ж ті ресурси до нас мають заплатить

316у1+216у2+199у3 Отже, проблема визначення розрахункових оцінок ресурсів призводить до завданню лінійного програмування: знайти вектор двоїстих оценок

У=(у1, у2, у3) Здатний Мінімізувати загальну оцінку всіх ресурсів f=316у1+216у2+199у3 за умови, що у кожному виду продукції сумарна оцінка всіх ресурсів, витрачених виробництва одиниці виробленої продукції, незгірш від прибутку, одержуваної від одиниці цієї продукции:

4у1+3у2+5у3?31

2у2+6у3?10

8у1+5у2+3у3?41

7у1+у2+2у3?29

При цьому оцінки ресурсів неможливо знайти негативними у1?0, у2?0, у3?0 З 2-ї основний теореми двойственности

Х=(х1, х2, х3, х4) і у=(у1, у2, у3) Необхідно врахувати і досить виконання умов х1(4у1+3у2+5у3−31)=0×2(2у2+6у3−10)=0×3(8у1+5у2+3у3−41)=0×4(7у1+у2+2у3−29)=0 З огляду на, що у вирішенні вихідної завдання х1> 0, x3>0 Поэтому

4у1+3у2+5у3−31=0

8у1+5у2+3у3−41=0 Візьмімо до уваги, що Другий ресурс був надлишковим і, відповідно до теоремі двоїстості, його двоїста оцінка дорівнює нулю у2=0 Маємо систему уравнений

4у1+3у2+5у3−31=0

8у1+5у2+3у3−41=0 Вирішимо систему: 4у1+5у3=31 у1=(31−5у3)/4 8((31−5у3)/4)+3у3=41 -7у3=-21 у1=(31−15)/4

откуда слід у1=4, у3=3 Отже, отримали двоїсті оцінки ресурсів у1=4, у2=0, у3=3

Общая оцінка всіх ресурсів f=316у1+216у2+199у3 f=1264+0+597=1861

Задача № 2.1. Завдання про «расшивке вузьких місць виробництва». За виконання оптимальної виробничої програми 1-ї та 3-й ресурси використовуються повністю, створюючи «вузькі місця виробництва». Їх необхідно замовити додатково. Нехай Т=(t1, 0, t3) — вектор додаткових обсягів ресурсів. Оскільки нам здається використовувати знайдені двоїсті оцінки ресурсів, те має виконуватися условие

М+ Q-1Т?0 Необхідно відшукати вектор

Т=(t1, 0, t3) максимізує сумарний приріст прибутку w=4t1+3t3

28 10/56 0 -1/7 t1 0

7 + -4/7 1 -1/7 · 0? 0

23 -6/56 0 2/7 t3 0

Предполагаем, що доводиться додатково можна отримати роботу трохи більше 1/3 початкового обсягу ресурсу кожного виду t1 316

0? 1/3 216 t3 199

где t1?0, t3?0

10/56t1−1/7t3?-28

-4/7t1−1/7t3?-7

-6/56t1+2/7t3?-23

-10/56t1+1/7t3?28

4/7t1+1/7t3?7

6/56t1−2/7t3?23

t1?316/3, t3?199/3 t1?0, t3?0

| |t1 |t3 | |I |-156,8 |0 | |I |0 |196 | |II |12,25 |0 | |II |0 |49 | |III|214,66 |0 | |III|0 |-80,5 | |IV |105,33 |0 | |V |0 |66,33 |

Программа розшивки має вигляд t1=0, t2=0, t3=49 і приріст прибутку становить w=4t1+3t3=3?49=147 Зведення результатів приведено в таблиці: |Сj |31 |10 |41 |29 |b |x4+i |yi |ti | | |4 |0 |8 |7 |316 |0 |4 |0 | |aij | | | | | | | | | | |3 |2 |5 |1 |216 |7 |0 |0 | | |5 |6 |3 |2 |199 |0 |3 |49 | |xj |23 |0 |28 |0 |1861 | | |147 | |?j |0 |8 |0 |5 | | | | |

Задача № 3. Транспортна завдання лінійного програмування. Вихідні данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий обсяги виробництва Sаi=45+60+65=170 одиниць продукції. Споживачам потрібно Sbi=31+40+41+49=161 одиниць продукції. Оскільки продукції виробляється понад 9 одиниць, ніж потрібно споживачам, ми маємо відкриту модель транспортної завдання. Для перетворення їх у закриту вводимо фіктивний пункт споживання з обсягом 9 одиниць. Для перебування першого базисного припустимого рішення використовуємо правило «північно-західного кута». | |b1=31 |b2=40 |b3=41 |b4=49 |b5=9 | | |a1=45 |31 |14 | | |* |p1=0 | |a2=60 | |26 |34 | | |p2=-3 | |a3=65 | | |7 |49 |9 |p3=-5 | | |q1=4 |q2=5 |q3=8 |q4=7 |q5=5 | |

?=9 z (x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535 | |b1=31 |b2=40 |b3=41 |b4=49 |b5=9 | | |a1=45 |31 |5 | | |9 |p1=0 | |a2=60 | |35 |25 |* | |p2=-3 | |a3=65 | | |16 |49 |9 |p3=-5 | | |q1=4 |q2=5 |q3=8 |q4=7 |q5=5 | |

?=25 z (x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490 | |b1=31 |b2=40 |b3=41 |b4=49 |b5=9 | | |a1=45 |31 |5 | | |9 |p1=0 | |a2=60 | |35 | |25 | |p2=-3 | |a3=65 | | |41 |24 | |p3=-2 | | |q1=4 |q2=5 |q3=5 |q4=4 |q5= | |

z (x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415 Завдання № 4. Динамічний програмування. Розподіл капітальних вкладень. Вихідні дані: |xj |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 | |f1(xj) |0 |10 |23 |30 |38 |43 |49 |52 | |f2(xj) |0 |13 |25 |37 |48 |55 |61 |66 | |f3(xj) |0 |16 |30 |37 |44 |48 |50 |49 | |f4(xj) |0 |10 |17 |23 |29 |34 |38 |41 |

Для рішення використовуємо метод «північно-східній діагоналі». | |-x2 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 | |x2 | |0 |10 |23 |30 |38 |43 |49 |52 | |0 |0 |0 |10 |23 |30 |38 |43 |49 |52 | |100 |13 |13 |23 |36 |43 |51 |56 |62 | | |200 |25 |25 |35 |48 |55 |63 |68 | | | |300 |37 |37 |47 |60 |67 |75 | | | | |400 |48 |48 |58 |71 |78 | | | | | |500 |55 |55 |65 |78 | | | | | | |600 |61 |61 |71 | | | | | | | |700 |66 |66 | | | | | | | |

| |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 | |F2() |0 |13 |25 |37 |48 |60 |71 |78 | |x2() |0 |100 |200 |300 |200 |300 |400 |500 |

| |-x3 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 | |x3 | |0 |13 |25 |37 |48 |60 |71 |78 | |0 |0 |0 |13 |25 |37 |48 |60 |71 |78 | |100 |16 |16 |29 |41 |53 |64 |76 |87 | | |200 |30 |30 |43 |55 |67 |78 |90 | | | |300 |37 |37 |50 |62 |74 |85 | | | | |400 |44 |44 |57 |69 |81 | | | | | |500 |48 |48 |61 |73 | | | | | | |600 |50 |50 |63 | | | | | | | |700 |49 |49 | | | | | | | |

| |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 | |F3() |0 |16 |30 |43 |55 |67 |78 |90 | |x3() |0 |100 |200 |200 |200 |200 |200 |200 |

| |-x4 |0 |100 |200 |300 |400 |500 |600 |700 | |x4 | |0 |16 |30 |43 |55 |67 |78 |90 | |0 |0 |0 | | | | | | |90 | |100 |10 | | | | | | |88 | | |200 |17 | | | | | |84 | | | |300 |23 | | | | |78 | | | | |400 |29 | | | |72 | | | | | |500 |34 | | |64 | | | | | | |600 |38 | |54 | | | | | | | |700 |41 |41 | | | | | | | |

x4*=x4(700)=0×3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200×2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700−200)=x2(500)=300×1*=700-x4*-x3*-x2*=700−0-200−300=200×1=200×2=300×3=200×4=0

Задача № 5. Завдання формування оптимального портфеля цінних паперів. Вихідні дані: |m0 |m1 |m2 |(1 |(2 | |2 |4 |6 |7 |8 |

Требуется сформувати оптимальний портфель заданої ефективності з 3-х видів цінних паперів: безризикових ефективності 2 і некоррелированных ризикових очікуваної ефективності 4 і шість та політичними ризиками 7 і побачили 8-го. Необхідно дізнатися, як влаштована ризикована частина оптимального портфеля і за який очікуваної ефективності портфеля виникає у операції short sale і з якими цінними бумагами?

4 49 0 m0=2, М=, V=

6 0 64

Зададимся ефективністю портфеля mp Знайдемо зворотний матрицю до V

1/49 0

V-1=

0 1/64 далее

4 1

M = I =

6 1

1/49 0 4 2 1/49 0 2

2/49 V-1(M-m0I)= (- = (=

0 1/64 6 2 0 1/64 4

1/16

2/49 (M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2 4) (= 65/196

1/16 Ризикові частки: x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12×2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19

Безрисковая частка: x0*=1-(mp-2) 0,31 Знайдемо значення mp, за якого створюється необхідність проведення операції short sale: (mp-2) 0,31=1 mp-2=1/0,31 mp=3,21+2 mp=5,21 Отже, якщо mp> 5,21 то x0*

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой