Высшая математика

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Державний університет управления

Інститут заочного обучения

Спеціальність — менеджмент

КОНТРОЛЬНА РАБОТА

з дисципліни: Вища математика.

Варіант № 1.

Выполнил студент Ганин Д. Ю. Студентський квиток № 1211 Група № УП4−1-98/2

Москва, 1999 г.

Частина I. 3

Завдання № 2. Питання № 9. 3

Завдання № 3. Питання № 1. 3

Завдання № 12. Питання № 9. 5

Завдання № 13. Питання № 2. 5

Завдання № 18. Питання № 9 6

Часть II. 9

Завдання № 8. Питання № 8. 9

Завдання № 12. Питання № 9. 10

Завдання № 14. Питання № 2. 10

Завдання № 15. Питання № 6. 11

Завдання № 18. Питання № 9. 12

Дополнительно Частина I. 13

Завдання № 7. Питання № 1. 13

Завдання № 9. Питання № 8. 13

Завдання № 11. Питання № 6. 14

Завдання № 15. Питання № 1. 15

Дополнительно Частина II. 15

Завдання № 7. Питання № 1. 15

Завдання № 9. Питання № 8. 16

Завдання № 11. Питання № 6. 18

Завдання № 15. Питання № 1. 18

Часть I.

Завдання № 2. Питання № 9.

У штаті гаражу значиться 54 водія. Скільки вільних днів може мати кожен водій на місяць (30 днів), якщо щодня 25% автомашин з наявних 60 залишаються у гаражі для профілактичного ремонта.

Решение:

|[pic] |машин щодня залишається в гаражі на | | |профілактичному ремонті. | |[pic] |машин із водіями щодня йдуть у рейс. | |[pic] |водіїв із Університету штату гаражу щодня теж не виходить в | | |рейс через профілактичного ремонту автомашин. | |[pic] |кількість водіїв протягом місяця, не | | |виходять в рейс через профілактичного ремонту | | |автомашин. | |[pic] |днів, у місяць кожен водій із Університету штату гаражу не | | |відбуває о рейс через профілактичного ремонту | | |автомашин. |

|Відповідь: |Кожен водій із Університету штату гаражу впродовж місяця | | |може мати [pic] вільних днів. |

Завдання № 3. Питання № 1.

Побудувати графік функції попиту Q=QD (P) і такі пропозиції Q=QS (P) і знайдіть координати точки рівноваги, якщо [pic], [pic].

Решение:

Побудуємо у площині POQ графік функції попиту Q=QD (P) і такі пропозиції Q=QS (P). І тому знайдемо координати перетину з осями координат:

|С віссю OP (Q=0): |З віссю OQ (P=0): | |Для Q=QS (P): |Для Q=QD (P): | | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] | | |[pic] | |

Т.к. функції QS (P) і QD (P) — лінійні функції, їх графіками є прямі, для побудови що досить визначити їх точки перетину з осями координат. Їх знайдено, отже можна робити побудова графіка (рис. 1).

Знайдемо точку рівноваги графіків функції попиту й пропозиції (М), в якої попит дорівнює пропозиції. І тому вирішимо систему: [pic], з цього системи отримуємо: [pic] [pic] [pic] [pic], тоді [pic], отже координати т. M[pic].

|Відповідь: |Координати точки рівноваги рівні [pic], [pic] |

Задание № 12. Питання № 9.

Використовуючи правила обчислення похідних і таблицю, знайдіть похідні наступних функций:

[pic]

Решение:

[pic]

|Ответ: |Похідна заданої функції дорівнює [pic] |

Завдання № 13. Питання № 2.

Використовуючи диференціал функції, знайдіть близьке значення |числа: |[pic] |

Решение:

[pic]

|Відповідь: |Близьке значення заданого числа одно 1,975. |

Задание № 18. Питання № 9

|Розвідайте функцію і побудуйте її графік: |[pic] |

Решение:

1. Область визначення даної функції: [pic]. 2. Знайдемо точки перетину з осями координат: |З віссю OY [pic]: |З віссю OX [pic]: | |[pic] |[pic], дріб дорівнює нулю, коли його чисельник| | |нульовий, тобто. | | |[pic] | | |[pic] | | |[pic] | |Крапка перетину: [pic] |Крапки перетину: [pic], [pic] |

3. Т.к. всі крапки входить у область значень функції, то точок розриву НЕМАЄ. 4. Вертикальних асимптот у графіка функції немає, т.к. немає точок разрыва.

Права і ліва похилі асимптоты мають рівняння: [pic], де: [pic][pic]т.к. права і ліва похилі асимптоты збігаються, то рівняння має вигляд: [pic], тобто. [pic]- рівняння горизонтальній асимптоты. 5. Знайдемо точки экстремума заданої функції. І тому знайдемо її першу похідну: [pic] Т.к. якщо в функції є точку екстремуму, то цієї точці перша похідна функції дорівнює нулю, тобто. [pic]: [pic], дріб дорівнює нулю, коли його чисельник нульовий, тобто. [pic], звідси [pic], отже [pic], отже точка [pic] - точку екстремуму функции.

На участке[pic] похідна [pic] > 0, отже, при [pic], задана функція возрастает.

На участке[pic] похідна [pic] < 0, отже, при [pic], задана функція убуває (рис 2.).

Следовательно [pic] - точка максимуму заданої функції [pic].

6. Знайдемо ділянки выпуклости/вогнутости заданої функції. І тому знайдемо її другу похідну: [pic] Т.к. якщо в функції є точка перегину, то цієї точці друга похідна функції дорівнює нулю, тобто. [pic]: [pic], дріб дорівнює нулю, коли його чисельник нульовий, тобто. [pic], отже [pic], тоді [pic], звідси [pic] Звідси [pic], [pic]. На участке[pic] похідна [pic]> 0, то це ділянку увігнутості графіка функции.

На ділянці [pic] похідна [pic] > 0, то це теж ділянку увігнутості графіка функції. Отже, при[pic] графік заданої функції є ввігнутим. На участке[pic] похідна [pic] 0, то екстремум є, а т.к. [pic]< 0, це максимум. Отже, при обсягах випуску [pic]и [pic], досягається максимальна прибуток рівна: [pic]

|Відповідь: |[pic] і характеризується обсягах випуску [pic]и [pic]. |

Задание № 12. Питання № 9.

|Вычислить невизначений інтеграл: |[pic] |

Решение:

[pic]

|Відповідь: |[pic] |

Завдання № 14. Питання № 2.

Обчислити несобственный інтеграл (чи з’ясувати час його расходимость)

[pic].

Решение:

[pic]

|Відповідь: |Цей несобственный інтеграл — розходиться. | Завдання № 15. Питання № 6.

|Решить рівняння |[pic] |

Решение:

[pic]. Розділивши обидві частини на [pic], одержимо [pic]. Проинтегрируем отримане рівняння [pic]. Уявімо [pic], як [pic], тогда

[pic]

[pic]

[pic]

|Ответ: |Рішенням даного рівняння є [pic]. |

Задание № 18. Питання № 9.

|Найти спільне рішення рівняння: |[pic] |

Решение:

Знайдемо коріння характеристичного рівняння: [pic], тоді [pic], отже [pic], [pic], тоді фундаментальну систему рішень утворюють функции:

[pic], [pic] Т.к. справжні й удавані рішення на окремішності є рішеннями рівняння, то ролі лінійно незалежних частин рішень [pic] і [pic], візьмемо [pic], [pic], тоді рішення однорідної рівняння матиме вид: [pic]

Уявімо праву частина рівняння, як [pic] і порівняти з вираженням, що ставлять праву частина спеціального виду: [pic]. Маємо [pic], [pic], тоді т.к. [pic] - багаточлен другого ступеня, то загальний вигляд правій частині: [pic]. Знайдемо приватні решения:

[pic], [pic], [pic]

[pic]

[pic] Порівняємо коефіцієнти при [pic] зліва і правих, знайдемо [pic], вирішивши систему: [pic], звідси [pic]. Тоді спільне рішення заданого неоднорідного лінійного рівняння має вигляд: [pic].

|Ответ: |[pic]. |

Дополнительно Частина I.

Завдання № 7. Питання № 1.

Знайти межа: [pic].

Решение:

[pic].

|Відповідь: |Поставлене межа дорівнює [pic]. |

Завдання № 9. Питання № 8.

Знайдіть рівняння асимптот і побудуйте їх графики:

[pic].

Решение:

1. Область визначення даної функції: [pic]. 2. Т.к. точка [pic] не входить у область значень функції, це точка розриву, а т.к. [pic] і [pic], отже, рівняння [pic] - рівняння вертикальної асимптоты.

3. Рівняння правої та скільки лівої похилих асимптот мають вигляд: [pic], де: [pic]

[pic] т.к. права і ліва похилі асимптоты збігаються, то рівняння наклонной

асимптоты має вигляд: [pic].

Для побудови графіків асимптот (див. рис. 5), знайдемо точки перетину похилій асимптоты [pic] з осями координат:

С віссю OX: точка[pic], з віссю OY: точка[pic]

|Ответ: |[pic] і [pic] - рівняння асимптот заданої функции. |

Завдання № 11. Питання № 6.

З визначення похідною, доведіть: [pic].

Решение:

Т.к. з визначення похідна функції [pic] у точці [pic] обчислюється за такою формулою [pic], тоді прирощення [pic] у точці [pic]: [pic]. Отже [pic].

|Ответ: |[pic]. |

Завдання № 15. Питання № 1.

Знайдіть межі, використовуючи правило Лопиталя: [pic].

Решение:

[pic].

|Відповідь: |Поставлене межа дорівнює [pic]. |

Додатково Частина II.

Завдання № 7. Питання № 1.

Написати у точці [pic] рівняння дотичній площині до, заданої рівнянням: [pic].

Решение:

Рівняння дотичній площині до графіка функції [pic] у точці [pic] має вигляд: [pic]. Тому, продифференцируем заданий рівняння поверхні: [pic]. Підставивши в отримане рівняння координати точки [pic] замість значень змінних, і замінивши диференціали змінних з їхньої збільшення, получим:

[pic]

[pic].

|Відповідь: |Рівняння дотичній площині до заданої | | |поверхні в заданої точці [pic] має вигляд [pic]. |

Задание № 9. Питання № 8.

Знайти найбільше і найменше значення функції [pic] в области:

[pic].

Решение:

Т.к. задана функція диференціюється в замкнутої обмеженою області, то своє наибольшее/наименьшее значення вона сягає чи стаціонарної точці всередині області диференціювання, чи кордоні області. Знайдемо стаціонарні точки заданої функції, при цьому вирішимо систему: [pic], точка [pic] не належить заданої області диференціювання, отже стаціонарних точок всередині області немає, отже, наибольшее/наименьшее значення функцією досягається за українсько-словацьким кордоном області диференціювання. Кордон області обмежена окружностями [pic] і [pic]. Знайдемо наибольшее/наименьшее значення межах області диференціювання. І тому складемо функцію Лагранжа: 1. [pic], тоді [pic], [pic], отже, система рівнянь визначення координат екстремальній точки має вид:

[pic] Цю систему має чотири рішення: |[pic], [pic], |Крапка [pic] - точка умовного максимуму, у своїй | |[pic] |функція [pic]. | |[pic], [pic], |Крапка [pic] - точка умовного максимуму, у своїй | |[pic] |функція [pic]. | |[pic], [pic], |Крапка [pic] - точка умовного мінімуму, у своїй | |[pic] |функція [pic]. | |[pic], [pic], |Крапка [pic] - точка умовного мінімуму, у своїй | |[pic] |функція [pic]. |

2. [pic], тоді [pic], [pic], отже, система рівнянь визначення координат екстремальній точки має вид:

[pic] Цю систему також має чотири рішення: |[pic], [pic], |Крапка [pic] - точка умовного максимуму, у своїй | |[pic] |функція [pic]. | |[pic], [pic], |Крапка [pic] - точка умовного максимуму, у своїй | |[pic] |функція [pic]. | |[pic], [pic], |Крапка [pic] - точка умовного мінімуму, у своїй | |[pic] |функція [pic]. | |[pic], [pic], |У точці [pic] - точка умовного мінімуму, у своїй | |[pic] |функція [pic]. |

Следовательно, задана функція [pic] в заданої області диференціювання сягає найбільшого значення точках [pic] і [pic] і найменшого в точках [pic] і [pic] у своїй графіки функцій [pic] і [pic] стосуються окружності [pic] в точках [pic], [pic] і [pic], [pic] відповідно (див. рис. 6).

|Відповідь: |Задана функція [pic] за умови [pic] має [pic]| | |і [pic]. |

Задание № 11. Питання № 6.

Обчислити невизначений інтеграл: [pic].

Решение:

[pic]

|Відповідь: |Поставлене невизначений інтеграл дорівнює [pic]. |

Завдання № 15. Питання № 1.

Вирішити рівняння: [pic].

Решение:

[pic]. Розділивши обидві частини на [pic], одержимо [pic]. Проинтегрируем отримане уравнение:

[pic]

[pic].

|Відповідь: |Рішенням даного рівняння є [pic]. |

-----------------------

Малюнок 2.

[pic]

Дослідження на экстремум.

Малюнок 1. [pic]

Графік функції від попиту й предложения.

Малюнок 4.

[pic]

|График заданої функції |[pic] |

Малюнок 3.

[pic]

Дослідження на выпуклость.

Малюнок 5.

[pic]

Графіки асимптот функции[pic]

Малюнок 6.

[pic]

Графік наибольших/наименьших значень функції [pic] при [pic].

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой