Сфера S?

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

СФЕРА

ВВЕДЕНИЕ… 3

МНОЖЕСТВО І ВІДСТАНЬ У НЬОМУ… 4

ОТКРЫТЫЕ І ЗАМКНУТІ БЕЗЛІЧІ У 5

СФЕРА 6

НЕКОТОРЫЕ ВЛАСТИВОСТІ СФЕРИ 7

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ИСТОЧНИКОВ… 11

ЗАПРОВАДЖЕННЯ

Многие величини, які становлять інтерес, залежать немає від одного, як від дуже багатьох чинників, і якщо сам величина й у з які його чинників може бути охарактеризовані деяким числом, то зазначена залежність зводиться до того що, що упорядкованому набору чисел, кожна з яких описує стан відповідного чинника, стає у відповідність значення досліджуваної величини, що вона набуває за цього стану визначальних величину факторов.

Например, площа прямокутника є твором довжин його сторін; обсяг даного кількості газу обчислюється по формуле

,

где  — стала,  — маса,  — абсолютна температура і  — тиск газу. Отже, значення залежить від перемінної упорядкованим трійки чисел чи, кажуть є функція трьох змінних .

Мы ставимо собі за мету навчитися досліджувати функції багатьох змінних як і, як ми навчилися досліджувати функції одного переменного.

Как у разі функції одного змінного, вивчення функції багатьох числових змінних починається з описи їхній області определения.


БЕЗЛІЧ І ВІДСТАНЬ У НЬОМУ.

Условимся через позначати безліч всіх упорядкованих наборів , які з дійсних чисел .

Каждый такий набір будемо позначати яка однією літерою і згідно зі зручними геометричній термінології називати точкою безлічі .

Число у традиційному наборі називають -і координатою точки .

Геометрические аналогії можна продовжити і введення на безлічі відстань між точками , по формуле

(1)

Функция

,

определяемая формулою (1), очевидно, має такими свойствами:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Последнее нерівність (зване знову-таки за геометричній аналогії нерівністю трикутника) є окреме питання нерівності Минковского.

Функцию, певну на парах точок деякого безлічі і що має властивостями a), b), з), d), називають метрикою чи відстанню в .

Множество разом із фіксованою у ньому метрикою називають метричним пространством.

Таким чином, ми перетворили в метричне простір, наділивши метрикою, заданої співвідношенням (1).

Из співвідношення (1) слід, що з

(2)

т. е. відстань між точками мало — в тому й лише у тому випадку, коли мало відрізняються відповідні координати цих точек.

Из (2), як і з (1), видно, що з безліч збігаються з безліччю дійсних чисел, відстань між точками якого вимірюється стандартним чином у вигляді модуля різниці чисел.

ВІДКРИТІ І ЗАМКНУТІ БЕЗЛІЧІ У

Определение 1. При безліч

называется кулею з центром радіуса чи також -околицею точки .

Определение 2. Безліч називається відкритим в , для будь-який точки знайдеться кулю такий, що .

Пример 1.  — відкрите безліч в .

Пример 2.  — порожній безліч — не містить крапок і тому можна вважати що задовольняє визначенню 2, т. е.  — відкрите безліч в .

Пример 3. Куля  — відкрите безліч в .

Действительно, якщо , т. е. , то, при буде , поскольку

.

Пример 4. Безліч , т. е. сукупність точок, удалённых від фіксованою точки на відстань більш ніж є відкритим, що, як й у прикладі 3, легко перевірити, використовуючи нерівність трикутника для метрики.

Определение 3. Безліч називається замкнутим в , якщо його доповнення в є безліччю, відкритим в .

Пример 5. Безліч , т. е. сукупність точок, удалённых від фіксованою точки але лише на , є замкнутим, що з визначення 3 і прикладу 4. Безліч називають замкнутим кулею з центром радіуса .

СФЕРА .

Сфера — безліч точок евклидова простору , що є від деякою точки (центр сфери) постійному відстані (радіус сфери), т. е.

.

Сфера — пара точок, сфера — це окружність, сферу при іноді називають гиперсферой. Обсяг сфери (довжина при , поверхню при ) обчислюється по формуле

,

в частности,

, , , .

Уравнение сфери в декартовых прямокутних координатах в має вид

(здесь , , , — координати , відповідно), т. е. Сфера — (гипер)квадрика, чи поверхню другого порядку спеціального вида.

Положение будь-якої точки у просторі стосовно царини характеризується ступенем точки. Сукупність усіх сфер, яких дана точка має однаковий рівень, становить мережу сфери. Сукупність усіх сфер, яких точки деякою прямий (радикальної осі) мають однаковий рівень (різну щодо різноманітних точок), становить пучок сферы.

ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ СФЕРИ .

С погляду диференціальної геометрії, сфера  — риманово простір, має постійну (гауссову при і риманову при ) кривизну . Усі геодезичні лінії сфери замкнуті і мають постійну довжину  — це звані великі окружності, т. е. перетину з двовимірні площин в , що пропливали її центр. Внешнегеометрические властивості : все нормальний перетинаються лише у точці, кривизна будь-яку нормальну перерізу сама й той самий та залежною від точки, у якій вона розглядається, зокрема має постійну середню кривизну, причому повна середня кривизна сфери — найменша серед опуклих поверхонь однаковою площі, всі крапки сфери омбилические.

Некоторые з цих властивостей, прийняті за основні, послужили відправною точкою для узагальнення поняття сфери. Так, наприклад, аффинная сфера залежить від того, що її (аффинные) нормальний перетинаються лише у точці; псевдосфера — поверхню в постійної гауссовой кривизни (але вже настав негативною); одне з інтерпретацій орисферы (граничною сфери) — безліч точок всередині , обумовлений рівнянням також другого порядка

.

На сферу двічі транзитивно діє ортогональна група простору (2 — транзитивность означає, що з будь-яких двох пар точок, із рівними відстанями, існує обертання — елемент , яка переводить одну пару до іншої); нарешті, сфера є однорідне простір: .

С погляду (диференціальної) топології, сфера  — замкнутий дифференцируемое розмаїття, те що розмежовує на дві області й що є загальній кордоном; у своїй обмежена область, гомеоморфная  — це (відкритий) кулю, отже сферу можна з’ясувати, як його границу.

Группы гомологий сфери , :

в частковості не затягується в точку як така, т. е. тотожне відображення у собі существенно.

Группы гомотетий сфери , :

Например, , при . У випадку — для будь-яких і , , групи не вычислены.

И тут поняття сфера отримує узагальнення. Наприклад, дика сфера — топологічна сфера в , не що обмежує області, гомеоморфной ; Милнора сфера (екзотична сфера) — розмаїття, гомеоморфное, але з диффеоморфное .

Топологическое простір, гомеоморфное сфері, називається топологічної сферою. Однією з основних тут є питання про умови те, що деяке простір є топологічної сферой.

Примеры.

а) Інваріантна топологічна характеристика сфери при невідома. Про разі див. Одномірне розмаїття. Щоб континуум був гомеоморфен сфері , необхідне й досить, щоб було локально пов’язаний, містив хоча б одну просту замкнуту лінію і щоб всяка що ньому така лінія розбивала його за дві області, мають цю лінію своєї загальної кордоном (теорема Уайлдера).

б) Повне односвязное риманово простір розмірності кривизна якого всім дотичних двомірних площин  — обмежена , т. е. гомеоморфно (теорема про сфере).

в) Односвязное замкнутий гладке розмаїття, (цілі) гомології якого збігаються з гомологиями при (при  — невідомо). Якщо , воно ще й гомеоморфно , при гіпотеза залишається, при диффеоморфизм немає места.

Совершенно аналогічно визначається сфера в метричному просторі . Але це безліч, власне кажучи, то, можливо влаштовано дуже складно (чи то, можливо пустым).

В нормированном просторі з нормою сферою називається безліч : це, сутнісно, довільна, власне кажучи, бесконечномерная опуклі (гипер)поверхность, який завжди що має, наприклад, гладкістю, округлістю тощо. п. корисними властивостями звичайній сфери. Одне з варіантів, що застосовуються в топології, — протікав звана бесконечномерная сфера — суворий індуктивний межа послідовності вкладених сфер:

другое визначення: , де  — бесконечномерное розмаїття Штифеля. Для будь-якого виявляється, що .

Приложения поняття сфера надзвичайно різноманітні. Наприклад сфери беруть участь у конструкціях нових просторів чи додаткових структур ними. Приміром, проективні простору можна інтерпретувати як сферу з отождествлёнными діаметрально протилежними точками; сфера з ручками і дірами використовують у теорії ручек.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ИСТОЧНИКОВ

1. Буземан Г. , Геометрія геодезичних. — М., 1962.

2. Зорич У. А. Математичний аналіз. Ч.1. — М.: Наука, Головна редакція фізико-математичній літератури, 1981.

3. Розенфельд Б. А. , Багатовимірні простору. М., 1966.

4. Розенфельд Б. А. , Неевклидовы простору. М., 1969.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой