Математическая статистика

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математическая статистика

Пространством елементарних событий називається безліч фіналів деякого эксперимента.

Элементарным событием називається будь-який елемент простору елементарних событий.

Событием називається будь-яке підмножина простору елементарних событий.

Генеральной совокупностью називається досить великий, можливо, нескінченне підмножина елементарних подій.

Случайной величиной називають функцію від елементарного события.

Экспериментом називається функція, приймаюча значення просторі елементарних событий.

Статистическая моделью називається сукупність законів, яким підпорядковується процедура эксперимента.

Случайной выборкой1 чи навіть выборкой1 обсягу n називається набір певної кількості елементів генеральної сукупності, наблюденных при серії з n однакових экспериментов

Выборкой2 обсягу n називається набір 1,…, n випадкових величин, певних на натуральних числах 1,…, n, k-я с.в. приймає значення результату ki-го експерименту на числі і, за умови, що це експерименти одинаковы.

Статистикой називається будь-яка измеримая функція від выборки.

Функцией правдоподобия називається щільність розподілу выборки2, як n-мерной випадкової величины.

Вариационный ряд, розподіл порядкових статистик. Емпіричні Квантили ГММЕ 398.

к-й порядковой статистикой вибірки х1,…, хn називається така випадкова величина х (k), що кожного набору значень вибірки х1,…, хn х (k) дорівнює такому хi, котрій знайдеться рівно i-1 елементів вибірки, які менше хi.

Если х1,…, хn — незалежні, однаково розподілені випадкові величини, що розподіл к-й порядковой статистики задається наступній формулой: , де B (a, b) — щільність бета розподілу.

Вариационным рядом називається послідовність порядкових статистик x (1),…, x (n).

Выборочным квантилем порядку р називається значення х ([np]+1).

Квантилью zp для с.в. x з функцією розподілу F (x) називається будь-який корінь рівняння F (zp)=p.

Эмпирическая функція розподілу, її св-ва, як функції і розподілу і як випадкового елемента (і розподілу і числові характеристики) СКТ 191.

Эмпирическим распределением називається розподіл, яке кожному елементу выборки1×1,…, хn ставить за відповідність вероятность1/n.

Эмпирическим распределением Án для вибірки х1,…, хn називається функція, по визначенню рівна , де одно 1, якщо хk належить У, і нулю иначе.

Эмпирической функцією распределения називається функція Fn (x)=Á(-¥, x).

Математическое ожидание эмпирической функції распределения M (x) одно середньому арифметичному значень х1,…, хn.

Дисперсия эмпирической функції распределения .

Выборочным моментом порядку k називається значення .

Сходимость емпіричну функції розподілу. Теорему Гливенко — Кантелли (БМС 22).

Теорема. Для емпіричного розподілу Án (x) і розподілу генеральної сукупності Á (x) при n®¥ .

Теорема Гливенко — Кантелли. Для емпіричну функцією розподілу Fn (x) і розподілу генеральної сукупності F (x) при n®¥ .

Теорема Колмогорова. Доказ незалежності статистики Колмогорова від виду безупинної функції розподілу — СКТ 209 ГММЕ 173.

Статистикой Колмогорова для безупинної функції розподілу генеральної сукупності F (x) і - емпіричну функція розподілу Fn (x), побудованої по вибірці х1,…, хn, називається функция.

Теорема. Якщо F (x) безупинна, то розподілу статистики Колмогорова Dn залежить від F (x).

Условные математичні очікування й умовні розподілу. Св-ва умовних мат. очікувань. Аналоги формул повної ймовірності і формули Байєса для мат. очікувань ГММЕ 173 ШВ 91.

Условным законом распределения д.с.в. h при заданому значенні д.с.в. x=хk називається набір умовних ймовірностей l=1,…, m.

Условным математичним очікуванням д.с. в. h при заданому значенні д.с.в. x=хk називається сума . Наявне рівність M[M (x½h)] = Mh. М (Р (h = yl| x=xk)) = P (h = yl).

Достаточные статистики. Теорему Неймана-Фишера (критерій достатності) СКТ 221.

Достаточной називається така статистика t (x), що з випадкової величини x із розподілом p (x, q) умовне розподіл P (x | t (x) = t0) залежить від параметра q (тобто неї можна визначити значення параметра q).

Теорема. Статистика t (x) з розподілом p (x, q)=g (t (x); q) h (x) є достаточной.

Статистические оцінки. Св-ва оцінок: спроможність, несмещенность, ефективність. Завдання оптимального статистичного оцінювання СКТ 215.

Оценкой для незалежної вибірки (x1,…, xn) називають статистику , призначену від використання замість параметра q, у його наближення, однозначно визначеного вихідним розподілом F з сімейства розподілів Fq (x).

Несмещенной називається така оцінка , що її мат. очікування одно q.

Состоятельной называется послідовність оцінок , сходящаяся по ймовірності до q.

Эффективной називається така оцінка що її дисперсія мінімальна серед послідовності оцінок .

Улучшение оцінок з допомогою достатніх статистик. Теорему Колмогорова Блекуэла Рао ПДВ СКТ 222.

Теорему Колмогорова Блекуэла Рао. Пусть t (х) — достатня статистика сімейства розподілів p (x, q), а  — несмещенная оцінка параметра q з кінцевої дисперсией для деякою вибірки (x1,…, xn). Тоді умовне мат. очікування при фіксованому t (х) буде несмещенной оцінкою q з дисперсией не яка перевершує дисперсию .

Полные достатні статисти та їх використання для перебування несмещенных оцінок з мінімальним дисперсией СКТ 222 БМС 142.

Полным сімейством розподілів Gq, залежних від к-мерного параметра q називається таке сімейство Gq, що з рівності нулю для будь-який вимірної функції y (s), слід, що y (s)=0.

Полной називається статистика які з сімейством розподілів Gq, індукованим розподілом генеральної сукупності G.

Теорема. Для повної достатньої статистики P. S з оцінкою q, оцінка qs=M (q|S) єдина ефективної оценкой.

Неравенство Крамера-Рао-Фреше. Ефективні оцінки на регулярному разі. Інформація Фішера і його св-ва СКТ 224.

Информацией Фишера для щільності p (x, q) називають математичне очікування .

Неравенство Рао-Крамера. Для сімейства плотностей p (x, q) и оцінки с математичним очікуванням g (q) таких, що і , має місце нерівність .

Эффективностью оцінки з математичним очікуванням g (q) называется ставлення .

Эффективной називається оцінка, ефективність якої дорівнює 1.

Метод моментів св-ва оцінок СКТ 228.

Методом моментов називають спосіб перебування оценок к к=1,…, r, одержуваних як вирішення системи mk0=mk (q1,…, qr), де , а mk — моменти порядку до для незалежної вибірки з щільністю p (x, q1,…, qn).

Теорема. Непрерывные оцінки к к=1,…, r, одержувані методом моментів, состоятельны.

Асимптотические св-ва статистичних оцінок. Спроможність, асимптотическая ефективність, асимптотическая нормальність СКТ 227 ПДВ 221.

Асимптотически эффективностью оцінки n називається кінцевим межа .

Асимптотически эффективной називається така оцінка, асимптотическая ефективність до-рій дорівнює единице.

Асимптотически нормальной називається оцінка, що у межі сходиться до нормальному распределению.

Состоятельность і асимптотическая нормальність емпіричних моментів та зняття функцій від емпіричних характеристик (БМС 40).

Теорема. Нехай F0 — функція розподілу генеральної сукупності і g, Sn такі, що , де h — дифференцируема у точці , , то , де x — н.р.с.в. з параметрами 0 і .

Асимптотические св-ва оцінок максимального правдоподібності. Метод максимального правдоподібності. Оптимальні св-ва оцінок СКТ 229 ГММЕ 541 ПДВ 221 ПДВ 249.

Оценкой максимального правдоподобия називається оцінка, обертаюча в максимум функцію правдоподібності: L (x; )=maxqL (x; q), чи .

Теорема. Если q1cp (x, q0), e, якщо вони рівні й 0, якщо p (x, q1)

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой