Золотое сечение

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Литературоведение


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы


Содержание


Введение
2. Золотоесечение-гармоническаяпропорция
3. Второезолотоесечение
4. Золотойтреугольник (пентаграмма)
5. Историязолотогосечения
6. РядФибоначчи
7. Обобщенноезолотоесечение
8. Принципыформообразованиявприроде
9. Золотоесечениеисимметрия
10. Разгадкатайнызолотогосечения
11. Золотоесечениевскульптуре
12. Золотоесечениевархитектуре
13. Золотоесечениевживописи. Золотаяспираль
14. «Необходимопрекрасномузданиюбытьпостроенным
подобнохорошосложенномучеловеку „(ПавелФлоренский)
15. Закономерностипостроенияпространственнойкомпозициипарка
Литература


Введение

Человекразличаетокружающиеегопредметыпоформе. Интерескформекакого-либопредметаможетбытьпродиктованжизненнойнеобходимостью, аможетбытьвызванкрасотойформы. Форма, восновепостроениякоторойлежатсочетаниесимметрииизолотогосечения, способствуетнаилучшемузрительномувосприятиюипоявлениюощущениякрасотыигармонии. Целоевсегдасостоитизчастей, частиразнойвеличинынаходятсявопределенномотношениидругкдругуикцелому. Принципзолотогосечения-высшеепроявлениеструктурногоифункциональногосовершенствацелогоиегочастейвискусстве, науке, техникеиприроде.

ЕщевэпохуВозрожденияхудожникиоткрыли, чтолюбаякартинаимеетопределенныеточки, невольноприковывающиенашевнимание, такназываемыезрительныецентры. Приэтомабсолютноневажно, какойформатимееткартина-горизонтальныйиливертикальный. Такихточеквсегочетыре, ирасположеныонинарасстоянии3/8и5/8отсоответствующихкраевплоскости.

Данноеоткрытиеухудожниковтоговремениполучилоназвание „золотоесечение „картини. Поэтому, длятогочтобыпривлечьвниманиекглавномуэлементуфотографии, необходимосовместитьэтотэлементсоднимиззрительныхцентров.


2. Золотоесечение-гармоническаяпропорция

Вматематикепропорцией (лат. proportio) называютравенстводвухотношений:a:b=c:d.
ОтрезокпрямойАВможноразделитьнадвечастиследующимиспособами:
*надверавныечасти-АВ: АС=АВ:ВС;
*надвенеравныечастивлюбомотношении (такиечастипропорциинеобразуют);
*такимобразом, когдаАВ: АС=АС:ВС.
Последнееиестьзолотоеделениеилиделениеотрезкавкрайнемисреднемотношении.
Золотоесечение-этотакоепропорциональноеделениеотрезкананеравныечасти, прикоторомвесьотрезоктакотноситсякбольшейчасти, каксамабольшаячастьотноситсякменьшей; илидругимисловами, меньшийотрезоктакотноситсякбольшему, какбольшийковсемуa: b=b:cилис:b=b:а.

Рис. 1. Геометрическоеизображениезолотойпропорции

Практическоезнакомствосзолотымсечениемначинаютсделенияотрезкапрямойвзолотойпропорцииспомощьюциркуляилинейки.

Рис. 2. Делениеотрезкапрямойпозолотомусечению. BC=½AB;CD=BC

ИзточкиВвосставляетсяперпендикуляр, равныйполовинеАВ. ПолученнаяточкаСсоединяетсялиниейсточкойА. НаполученнойлинииоткладываетсяотрезокВС, заканчивающийсяточкойD. ОтрезокADпереноситсянапрямуюАВ. ПолученнаяприэтомточкаЕделитотрезокАВвсоотношениизолотойпропорции.
ОтрезкизолотойпропорциивыражаютсябесконечнойиррациональнойдробьюAE=0,618…, еслиАВпринятьзаединицу, ВЕ=0,382… Дляпрактическихцелейчастоиспользуютприближенныезначения0,62и0,38. ЕслиотрезокАВпринятьза100частей, тобольшаячастьотрезкаравна62, аменьшая-38частям.
Свойствазолотогосеченияописываютсяуравнением:
x2-x-1=0.
Решениеэтогоуравнения:

Свойствазолотогосечениясоздаливокругэтогочисларомантическийореолтаинственностиичутьлинемистическогопоклонения.
3. Второезолотоесечение

Болгарскийжурнал"Отечество"(№ 10,1983 г.)опубликовалстатьюЦветанаЦекова-Карандаша"Овторомзолотомсечении“, котороевытекаетизосновногосеченияидаетдругоеотношение44:56.
Такаяпропорцияобнаруженавархитектуре, атакжеимеетместоприпостроениикомпозицийизображенийудлиненногогоризонтальногоформата.



Рис. 3. Построениевторогозолотогосечения


Делениеосуществляетсяследующимобразом. ОтрезокАВделитсявпропорциизолотогосечения. ИзточкиСвосставляетсяперпендикулярСD. РадиусомАВнаходитсяточкаD, котораясоединяетсялиниейсточкойА. ПрямойуголАСDделитсяпополам. ИзточкиСпроводитсялиниядопересеченияслиниейAD. ТочкаЕделитотрезокADвотношении56: 44.


Рис. 3.1. Делениепрямоугольникалиниейвторогозолотогосечения

Нарисункепоказаноположениелиниивторогозолотогосечения. Онанаходитсяпосерединемеждулиниейзолотогосеченияисреднейлиниейпрямоугольника.





4. Золотойтреугольник

Замечательныйпример"золотогосечения"представляетсобойправильныйпятиугольник-выпуклыйизвездчатый (рис. 4).

ИзподобиятреугольниковACDиABEможемвывестиужеизвестнуюпропорцию:

Такимобразом, звездчатыйпятиугольниктакжеобладает"золотымсечением“. Интересно, чтовнутрипятиугольникаможнопродолжитьстроитьпятиугольники, иэтоотношениебудетсохраняться.
Звездчатыйпятиугольникназываетсяпентаграммой. Пифагорейцывыбралипятиконечнуюзвездувкачестветалисмана, онасчиталасьсимволомздоровьяислужилаопознавательнымзнаком.
Бытуетлегендаотом, чтоодинизпифагорейцевбольнымпопалвдомкнезнакомымлюдям. Онистаралисьеговыходить, ноболезньнеотступала. Неимеясредствзаплатитьзалечениеиуход, больнойпередсмертьюпопросилхозяинадоманарисоватьувходапятиконечнуюзвезду, объяснив, чтопоэтомузнакунайдутсялюди, которыевознаградятего. Инасамомделе, черезнекотороевремяодинизпутешествующихпифагорейцевзаметилзвездуисталрасспрашиватьхозяинадомаотом, какимобразомонапоявилисьувхода. Послерассказахозяинагостьщедровознаградилего.
ПентаграммабылахорошоизвестнаивДревнемЕгипте. НонепосредственнокакэмблемаздоровьяонабылаприняталишьвДревнейГреции.
Внастоящеевремясуществуетгипотеза, чтопентаграмма-первичноепонятие, а"золотоесечение"вторично. Пентаграммуниктонеизобретал, еетолькоскопировалиснатуры. Видпятиконечнойзвездыимеютпяти-лепестковыецветыплодовыхдеревьевикустарников, морскиезвезды. Теидругиесозданияприродычеловекнаблюдаетужетысячилет. Поэтомуестественнопредположить, чтогеометрическийобразэтихобъектов-пентаграмма-сталаизвестнараньше, чем"золотая"пропорция.


Длянахожденияотрезковзолотойпропорциивосходящегоинисходящегорядовможнопользоватьсяпентаграммой.

Рис. 5. Построениеправильногопятиугольникаипентаграммы
Дляпостроенияпентаграммынеобходимопостроитьправильныйпятиугольник. СпособегопостроенияразработалнемецкийживописециграфикАльбрехтДюрер (1471… 1528). ПустьO-центрокружности, A-точканаокружностииЕ-серединаотрезкаОА. ПерпендикуляркрадиусуОА, восставленныйвточкеО, пересекаетсясокружностьювточкеD. Пользуясьциркулем, отложимнадиаметреотрезокCE=ED. ДлинасторонывписанноговокружностьправильногопятиугольникаравнаDC. ОткладываемнаокружностиотрезкиDCиполучимпятьточекдляначертанияправильногопятиугольника. Соединяемуглыпятиугольникачерезодиндиагоналямииполучаемпентаграмму. Вседиагоналипятиугольникаделятдругдруганаотрезки, связанныемеждусобойзолотойпропорцией.
Каждыйконецпятиугольнойзвездыпредставляетсобойзолотойтреугольник. Егостороныобразуютугол36°привершине, аоснование, отложенноенабоковуюсторону, делитеевпропорциизолотогосечения.

Рис. 6. Построениезолотого
треугольника

ПроводимпрямуюАВ. ОтточкиАоткладываемнанейтриразаотрезокОпроизвольнойвеличины, черезполученнуюточкуРпроводимперпендикулярклинииАВ, наперпендикуляревправоивлевоотточкиРоткладываемотрезкиО. Полученныеточкиdиd1соединяемпрямымисточкойА. Отрезокdd1откладываемналиниюAd1, получаяточкуС. ОнаразделилалиниюAd1впропорциизолотогосечения. ЛиниямиAd1иdd1пользуютсядляпостроения"золотого"прямоугольника.

5. Историязолотогосечения

Принятосчитать, чтопонятиеозолотомделенииввелвнаучныйобиходПифагор, древнегреческийфилософиматематик (VIв. дон.э.). Естьпредположение, чтоПифагорсвоезнаниезолотогоделенияпозаимствовалуегиптянивавилонян. Идействительно, пропорциипирамидыХеопса, храмов, барельефов, предметовбытаиукрашенийизгробницыТутанхамонасвидетельствуют, чтоегипетскиемастерапользовалисьсоотношениямизолотогоделенияприихсоздании. ФранцузскийархитекторЛеКорбюзьенашел, чтоврельефеизхрамафараонаСетиIвАбидосеиврельефе, изображающемфараонаРамзеса, пропорциифигурсоответствуютвеличинамзолотогоделения. ЗодчийХесира, изображенныйнарельефедеревяннойдоскиизгробницыегоимени, держитврукахизмерительныеинструменты, вкоторыхзафиксированыпропорциизолотогоделения.
Грекибылиискуснымигеометрами. Дажеарифметикеобучалисвоихдетейприпомощигеометрическихфигур. КвадратПифагораидиагональэтогоквадратабылиоснованиемдляпостроениядинамическихпрямоугольников.

Рис. 7. Динамическиепрямоугольники
Платон (427… 347 гг. дон.э.)такжезналозолотомделении. Егодиалог"Тимей"посвященматематическимиэстетическимвоззрениямшколыПифагораи, вчастности, вопросамзолотогоделения.
ВфасадедревнегреческогохрамаПарфенонаприсутствуютзолотыепропорции. Приегораскопкахобнаруженыциркули, которымипользовалисьархитекторыискульпторыантичногомира. ВПомпейскомциркуле (музейвНеаполе)такжезаложеныпропорциизолотогоделения.

Рис. 8. Античныйциркульзолотогосечения
Вдошедшейдонасантичнойлитературезолотоеделениевпервыеупоминаетсяв"Началах"Евклида. Во2-йкниге"Начал"даетсягеометрическоепостроениезолотогоделенияПослеЕвклидаисследованиемзолотогоделениязанималисьГипсикл (IIв. дон.э.), Папп (IIIв.н.э.)идр. ВсредневековойЕвропесзолотымделениемпознакомилисьпоарабскимпереводам"Начал"Евклида. ПереводчикДж. КампаноизНаварры (IIIв.)сделалкпереводукомментарии. Секретызолотогоделенияревностнооберегались, хранилисьвстрогойтайне. Онибылиизвестнытолькопосвященным.
ВэпохуВозрожденияусиливаетсяинтерескзолотомуделениюсредиученыхихудожниковвсвязисегоприменениемкаквгеометрии, такивискусстве, особенновархитектуреЛеонардодаВинчи, художникиученый, видел, чтоуитальянскиххудожниковэмпирическийопытбольшой, азнаниймало. Онзадумалиначалписатькнигупогеометрии, новэтовремяпоявиласькнигамонахаЛукиПачоли, иЛеонардооставилсвоюзатею. Помнениюсовременниковиисториковнауки, ЛукаПачолибылнастоящимсветилом, величайшимматематикомИталиивпериодмеждуФибоначчииГалилеем. ЛукаПачолибылученикомхудожникаПьероделлаФранчески, написавшегодвекниги, однаизкоторыхназывалась"Оперспективевживописи“. Егосчитаюттворцомначертательнойгеометрии.
ЛукаПачолипрекраснопонималзначениенаукидляискусства. В1496гпоприглашениюгерцогаМороонприезжаетвМилан, гдечитаетлекциипоматематике. ВМиланепридвореМоровтовремяработалиЛеонардодаВинчи. В1509 г. вВенециибылаизданакнигаЛукиПачоли"Божественнаяпропорция"сблестящевыполненнымииллюстрациями, ввидучегополагают, чтоихсделалЛеонардодаВинчи. Книгабылавосторженнымгимномзолотойпропорции. СредимногихдостоинствзолотойпропорциимонахЛукаПачолинепреминулназватьиее"божественнуюсуть"каквыражениебожественноготриединствабогсын, боготецибогдухсвятой (подразумевалось, чтомалыйотрезокестьолицетворениебогасына, большийотрезок-богаотца, авесьотрезок-богадухасвятого).
ЛеонардодаВинчитакжемноговниманияуделялизучениюзолотогоделения. Онпроизводилсечениястереометрическоготела, образованногоправильнымипятиугольниками, икаждыйразполучалпрямоугольникисотношениямисторонвзолотомделении. Поэтомуондалэтомуделениюназваниезолотоесечение. Таконоидержитсядосихпоркаксамоепопулярное.
ВтожевремянасевереЕвропы, вГермании, надтемижепроблемамитрудилсяАльбрехтДюрер. Онделаетнаброскивведениякпервомувариантутрактатаопропорциях. Дюрерпишет. „Необходимо, чтобытот, кточто-либоумеет, обучилэтомудругих, которыевэтомнуждаются. Этояивознамерилсясделать“.
СудяпоодномуизписемДюрера, онвстречалсясЛукойПачоливовремяпребываниявИталии. АльбрехтДюрерподробноразрабатываеттеориюпропорцийчеловеческоготела. ВажноеместовсвоейсистемесоотношенийДюреротводилзолотомусечению. Ростчеловекаделитсявзолотыхпропорцияхлиниейпояса, атакжелинией, проведеннойчерезкончикисреднихпальцевопущенныхрук, нижняячастьлица-ртомит.д. ИзвестенпропорциональныйциркульДюрера.
ВеликийастрономXVIв. ИоганКеплерназвалзолотоесечениеоднимизсокровищгеометрии. Онпервыйобращаетвниманиеназначениезолотойпропорциидляботаники (рострастенийиихстроение).
Кеплерназывалзолотуюпропорциюпродолжающейсамусебя"Устроенаонатак,-писалон,-чтодвамладшихчленаэтойнескончаемойпропорциивсуммедаюттретийчлен, алюбыедвапоследнихчлена, еслиихсложить, даютследующийчлен, причемтажепропорциясохраняетсядобесконечности».
Построениерядаотрезковзолотойпропорцииможнопроизводитькаквсторонуувеличения (возрастающийряд), такивсторонууменьшения (нисходящийряд).
Еслинапрямойпроизвольнойдлины, отложитьотрезокm, рядомоткладываемотрезокM. Наоснованииэтихдвухотрезковвыстраиваемшкалуотрезковзолотойпропорциивосходящегоинисходящегорядов:


Рис. 9. Построениешкалыотрезковзолотойпропорции

Впоследующиевекаправилозолотойпропорциипревратилосьвакадемическийканони, когдасовременемвискусственачаласьборьбасакадемическойрутиной, впылуборьбы"вместесводойвыплеснулииребенка". Вновь"открыто"золотоесечениебыловсерединеXIXв. В1855 г. немецкийисследовательзолотогосеченияпрофессорЦейзингопубликовалсвойтруд"Эстетическиеисследования". СЦейзингомпроизошлоименното, чтоидолжнобылонеминуемопроизойтисисследователем, которыйрассматриваетявлениекактаковое, безсвязисдругимиявлениями. Онабсолютизировалпропорциюзолотогосечения, объявивееуниверсальнойдлявсехявленийприродыиискусства. УЦейзингабылимногочисленныепоследователи, нобылиипротивники, которыеобъявилиегоучениеопропорциях"математическойэстетикой".

Рис. 10. Золотыепропорциивчастяхтелачеловека




Рис. 11. Золотыепропорциивфигуречеловека

Цейзингпроделалколоссальнуюработу. Онизмерилоколодвухтысяччеловеческихтелипришелквыводу, чтозолотоесечениевыражаетсреднийстатистическийзакон. Делениетелаточкойпупа-важнейшийпоказательзолотогосечения. Пропорциимужскоготелаколеблютсявпределахсреднегоотношения13: 8=1,625инесколькоближеподходяткзолотомусечению, чемпропорцииженскоготела, вотношениикоторогосреднеезначениепропорциивыражаетсявсоотношении8: 5=1,6. Уноворожденногопропорциясоставляетотношение1: 1, к13годамонаравна1,6,ак21годуравняетсямужской. Пропорциизолотогосеченияпроявляютсяивотношениидругихчастейтела-длинаплеча, предплечьяикисти, кистиипальцевит.д.




СправедливостьсвоейтеорииЦейзингпроверялнагреческихстатуях. НаиболееподробноонразработалпропорцииАполлонаБельведерского. Подверглисьисследованиюгреческиевазы, архитектурныесооруженияразличныхэпох, растения, животные, птичьияйца, музыкальныетона, стихотворныеразмеры. Цейзингдалопределениезолотомусечению, показал, каконовыражаетсявотрезкахпрямойивцифрах. Когдацифры, выражающиедлиныотрезков, былиполучены, Цейзингувидел, чтоонисоставляютрядФибоначчи, которыйможнопродолжатьдобесконечностиводнуивдругуюсторону. Следующаяегокнигаимеланазвание"Золотоеделениекакосновнойморфологическийзаконвприродеиискусстве". В1876г. вРоссиибылаиздананебольшаякнижка, почтиброшюра, сизложениемэтоготрудаЦейзинга. АвторукрылсяподинициаламиЮ.Ф. В. Вэтомизданиинеупомянутониоднопроизведениеживописи.
ВконцеXIX-началеXX вв. появилосьнемалочистоформалистическихтеорииоприменениизолотогосечениявпроизведенияхискусстваиархитектуры. Сразвитиемдизайнаитехническойэстетикидействиезаконазолотогосеченияраспространилосьнаконструированиемашин, мебелиит.д.

6. РядФибоначчи

СисториейзолотогосечениякосвеннымобразомсвязаноимяитальянскогоматематикамонахаЛеонардоизПизы, болееизвестногоподименемФибоначчи (сынБоначчи). ОнмногопутешествовалпоВостоку, познакомилЕвропусиндийскими (арабскими)цифрами. В1202гвышелвсветегоматематическийтруд"Книгаобабаке"(счетнойдоске), вкоторомбылисобранывсеизвестныенатовремязадачи. Однаиззадачгласила"Сколькопаркроликовводингодотоднойпарыродится". Размышляянаэтутему, Фибоначчивыстроилтакойрядцифр:

Месяцы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ит.д.
Парыкроликов
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
ит.д.

Рядчисел0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55ит.д. известенкакрядФибоначчи. Особенностьпоследовательностичиселсостоитвтом, чтокаждыйеечлен, начинаястретьего, равенсуммедвухпредыдущих2+3=5;3+5=8;5+8=13,8+13=21;13+21=34ит.д., аотношениесмежныхчиселрядаприближаетсякотношениюзолотогоделения. Так, 21: 34=0,617,а34: 55=0,618. ЭтоотношениеобозначаетсясимволомФ. Толькоэтоотношение-0,618: 0,382-даетнепрерывноеделениеотрезкапрямойвзолотойпропорции, увеличениеегоилиуменьшениедобесконечности, когдаменьшийотрезоктакотноситсякбольшему, какбольшийковсему.
Фибоначчитакжезанималсярешениемпрактическихнуждторговли: спомощьюкакогонаименьшегоколичествагирьможновзвеситьтовар? Фибоначчидоказывает, чтооптимальнойявляетсятакаясистемагирь:1,2,4,8,16…

7. Обобщенноезолотоесечение

РядФибоначчимогбыостатьсятолькоматематическимказусом, еслибынетообстоятельство, чтовсеисследователизолотогоделенияврастительномивживотноммире, неговоряужеобискусстве, неизменноприходиликэтомурядукакарифметическомувыражениюзаконазолотогоделения.
УченыепродолжалиактивноразвиватьтеориючиселФибоначчиизолотогосечения.Ю. МатиясевичсиспользованиемчиселФибоначчирешает10-юпроблемуГильберта. Возникаютизящныеметодырешениярядакибернетическихзадач (теориипоиска, игр, программирования) сиспользованиемчиселФибоначчиизолотогосечения. ВСШАсоздаетсядажеМатематическаяФибоначчи-ассоциация, котораяс1963годавыпускаетспециальныйжурнал.
ОднимиздостиженийвэтойобластиявляетсяоткрытиеобобщенныхчиселФибоначчииобобщенныхзолотыхсечений.
РядФибоначчи (1,1,2,3,5,8)иоткрытыйимже"двоичный"рядгирь1,2,4,8,16… напервыйвзглядсовершенноразные. Ноалгоритмыихпостроениявесьмапохожидругнадруга: впервомслучаекаждоечислоестьсуммапредыдущегочислассамимсобой2=1+1;4=2+2…, вовтором-этосуммадвухпредыдущихчисел2=1+1,3=2+1,5=3+2… Нельзялиотыскатьобщуюматематическуюформулу, изкоторойполучаютсяи"двоичный"ряд, ирядФибоначчи? Аможетбыть, этаформуладастнамновыечисловыемножества, обладающиекакими-тоновымиуникальнымисвойствами?
Действительно, зададимсячисловымпараметромS, которыйможетприниматьлюбыезначения: 0,1,2,3,4,5… Рассмотримчисловойряд, S+1первыхчленовкоторого-единицы, акаждыйизпоследующихравенсуммедвухчленовпредыдущегоиотстоящегоотпредыдущегонаSшагов. Еслиn-йчленэтогорядамыобозначимчерез?S (n), тополучимобщуюформулу? S (n)=?S (n-1)+?S (n-S-1).
Очевидно, чтоприS=0изэтойформулымыполучим"двоичный"ряд, приS=1-рядФибоначчи, приS=2,3,4. новыерядычисел, которыеполучилиназваниеS-чиселФибоначчи.
ВобщемвидезолотаяS-пропорцияестьположительныйкореньуравнениязолотогоS-сеченияxS+1-xS-1=0.
Нетруднопоказать, чтоприS=0получаетсяделениеотрезкапополам, априS=1-знакомоеклассическоезолотоесечение.
ОтношениясоседнихS-чиселФибоначчисабсолютнойматематическойточностьюсовпадаютвпределесзолотымиS-пропорциями!Математикивтакихслучаяхговорят, чтозолотыеS-сеченияявляютсячисловымиинвариантамиS-чиселФибоначчи.
Факты, подтверждающиесуществованиезолотыхS-сеченийвприроде, приводитбелорусскийученыйЭ.М. Сороковкниге"Структурнаягармониясистем"(Минск,"Наукаитехника", 1984). Оказывается, например, чтохорошоизученныедвойныесплавыобладаютособыми, ярковыраженнымифункциональнымисвойствами (устойчивывтермическомотношении, тверды, износостойки, устойчивыкокислениюит. п) тольковтомслучае, еслиудельныевесаисходныхкомпонентовсвязаныдругсдругомоднойиззолотыхS-пропорций. Этопозволилоавторувыдвинутьгипотезуотом, чтозолотыеS-сеченияестьчисловыеинвариантысамоорганизующихсясистем. Будучиподтвержденнойэкспериментально, этагипотезаможетиметьфундаментальноезначениедляразвитиясинергетики-новойобластинауки, изучающейпроцессывсамоорганизующихсясистемах.
СпомощьюкодовзолотойS-пропорцииможновыразитьлюбоедействительноечисловвидесуммыстепенейзолотыхS-пропорцийсцелымикоэффициентами.
Принципиальноеотличиетакогоспособакодированиячиселзаключаетсявтом, чтооснованияновыхкодов, представляющиесобойзолотыеS-пропорции, приS> 0оказываютсяиррациональнымичислами. Такимобразом, новыесистемысчислениясиррациональнымиоснованиямикакбыставят"сголовынаноги"историческисложившуюсяиерархиюотношениймеждучисламирациональнымиииррациональными. Деловтом, чтосначалабыли"открыты"числанатуральные;затемихотношения-числарациональные. Илишьпозже-послеоткрытияпифагорейцаминесоизмеримыхотрезков-насветпоявилисьиррациональныечисла. Скажем, вдесятичной, пятеричной, двоичнойидругихклассическихпозиционныхсистемахсчислениявкачествесвоеобразнойпервоосновыбыливыбранынатуральныечисла-10,5,2,-изкоторыхужепоопределеннымправиламконструировалисьвседругиенатуральные, атакжерациональныеииррациональныечисла.
Своегородаальтернативойсуществующимспособамсчислениявыступаетновая, иррациональнаясистема, вкачествепервоосновы, началасчислениякоторойвыбраноиррациональноечисло (являющееся, напомним, корнемуравнениязолотогосечения); черезнегоужевыражаютсядругиедействительныечисла.
Втакойсистемесчислениялюбоенатуральноечисловсегдапредставимоввидеконечной,-анебесконечной, какдумалиранее!-суммыстепенейлюбойиззолотыхS-пропорций. Этооднаизпричин, почему"иррациональная"арифметика, обладаяудивительнойматематическойпростотойиизяществом, какбывобралавсебялучшиекачестваклассическойдвоичнойи"Фибоначчиевой"арифметик.



8. Принципыформообразованиявприроде

Все, чтоприобреталокакую-тоформу, образовывалось, росло, стремилосьзанятьместовпространствеисохранитьсебя. Этостремлениенаходитосуществлениевосновномвдвухвариантах-роствверхилирасстиланиепоповерхностиземлиизакручиваниепоспирали.
Раковиназакрученапоспирали. Еслиееразвернуть, тополучаетсядлина, немногоуступающаядлинезмеи. Небольшаядесятисантиметроваяраковинаимеетспиральдлиной35см. Спиралиоченьраспространенывприроде. Представлениеозолотомсечениибудетнеполным, еслинесказатьоспирали.

Рис. 12. СпиральАрхимеда
ФормаспиральнозавитойраковиныпривлеклавниманиеАрхимеда. Онизучалееивывелуравнениеспирали. Спираль, вычерченнаяпоэтомууравнению, называетсяегоименем. Увеличениееешагавсегдаравномерно. ВнастоящеевремяспиральАрхимедаширокоприменяетсявтехнике.
ЕщеГетеподчеркивалтенденциюприродыкспиральности. Винтообразноеиспиралевидноерасположениелистьевнаветкахдеревьевподметилидавно. Спиральувиделиврасположениисемянподсолнечника, вшишкахсосны, ананасах, кактусахит.д. Совместнаяработаботаниковиматематиковпролиласветнаэтиудивительныеявленияприроды. Выяснилось, чтоврасположениилистьевнаветке (филотаксис), семянподсолнечника, шишексосныпроявляетсебярядФибоначчи, асталобыть, проявляетсебязаконзолотогосечения. Паукплететпаутинуспиралеобразно. Спиральюзакручиваетсяураган. Испуганноестадосеверныхоленейразбегаетсяпоспирали. МолекулаДНКзакрученадвойнойспиралью. Гетеназывалспираль"кривойжизни".
Средипридорожныхтраврастетничемнепримечательноерастение-цикорий. Приглядимсякнемувнимательно. Отосновногостебляобразовалсяотросток. Тутжерасположилсяпервыйлисток. Рис. 13. Цикорий

Отростокделаетсильныйвыбросвпространство, останавливается, выпускаетлисток, ноужекорочепервого, сноваделаетвыбросвпространство, ноужеменьшейсилы, выпускаетлистокещеменьшегоразмераисновавыброс. Еслипервыйвыброспринятьза100единиц, товторойравен62единицам, третий-38,четвертый-24ит.д. Длиналепестковтожеподчиненазолотойпропорции. Вросте, завоеваниипространстварастениесохранялоопределенныепропорции. Импульсыегоростапостепенноуменьшалисьвпропорциизолотогосечения.

Рис. 14. Ящерицаживородящая
Вящерицеспервоговзглядаулавливаютсяприятныедлянашегоглазапропорции-длинаеехвостатакотноситсякдлинеостальноготела, как62к38.
Иврастительном, ивживотноммиренастойчивопробиваетсяформообразующаятенденцияприроды-симметрияотносительнонаправленияростаидвижения. Здесьзолотоесечениепроявляетсявпропорцияхчастейперпендикулярнокнаправлениюроста.
Природаосуществиладелениенасимметричныечастиизолотыепропорции. Вчастяхпроявляетсяповторениестроенияцелого.

Рис. 15. Яйцоптицы
ВеликийГете, поэт, естествоиспытательихудожник (онрисовалиписалакварелью), мечталосозданииединогоученияоформе, образованииипреобразованииорганическихтел. Этоонввелвнаучныйобиходтерминморфология.
ПьерКюривначаленашегостолетиясформулировалрядглубокихидейсимметрии. Онутверждал, чтонельзярассматриватьсимметриюкакого-либотела, неучитываясимметриюокружающейсреды.
Закономерности"золотой"симметриипроявляютсявэнергетическихпереходахэлементарныхчастиц, встроениинекоторыххимическихсоединений, впланетарныхикосмическихсистемах, вгенныхструктурахживыхорганизмов. Этизакономерности, какуказановыше, естьвстроенииотдельныхоргановчеловекаителавцелом, атакжепроявляютсявбиоритмахифункционированииголовногомозгаизрительноговосприятия.



9. Золотоесечениеисимметрия

Золотоесечениенельзярассматриватьсамопосебе, отдельно, безсвязиссимметрией. ВеликийрусскийкристаллографГ.В. Вульф (1863… 1925) считалзолотоесечениеоднимизпроявленийсимметрии.
Золотоеделениенеестьпроявлениеасимметрии, чего-топротивоположногосимметрииСогласносовременнымпредставлениямзолотоеделение-этоасимметричнаясимметрия. Внаукуосимметриивошлитакиепонятия, какстатическаяидинамическаясимметрия. Статическаясимметрияхарактеризуетпокой, равновесие, адинамическая-движение, рост. Так, вприродестатическаясимметрияпредставленастроениемкристаллов, авискусствехарактеризуетпокой, равновесиеинеподвижность. Динамическаясимметриявыражаетактивность, характеризуетдвижение, развитие, ритм, она-свидетельствожизни. Статическойсимметриисвойственныравныеотрезки, равныевеличины. Динамическойсимметриисвойственноувеличениеотрезковилиихуменьшение, ионовыражаетсяввеличинахзолотогосечениявозрастающегоилиубывающегоряда.








10. Разгадкатайнызолотогосечения

Золотоесечение-этосечениеотрезканадвечаститак, чтодлинабольшейчастиотноситсякдлинеменьшейчаститакже, какдлинавсегоотрезкакдлинебольшейчасти.
Золотойвурф-этопоследовательныйрядотрезков, когдасмежныеотрезкинаходятсявотношениизолотогосечения.
Рассмотримгармоническийпроцессколебанийструны.
Наструнемогутсоздаватьсястоячиеволныосновнойивысшихгармоник (обертонов). Длиныполуволнгармоническогорядасоответствуютфункции1/N, гдеN-натуральноечисло. Длиныполуволнмогутбытьвыраженывпроцентахотдлиныполуволныосновнойгармоники:100%50%33%25%20%… Возбудитьтуилиинуюгармоникуможновоздействиемнасоответствующийучастокструны. Вслучаевоздействиянапроизвольныйучастокструныбудутвозбуждатьсявсегармоникисразличнымиамплитуднымикоэффициентами, которыезависятоткоординатыучастка, отшириныучасткаиотчастотно-временныххарактеристиквоздействия.
Введемфункциювосприимчивостиструныкимпульсномувоздействию.
Учитываяразныезнакифазчетныхинечетныхгармоник, получимзнакопеременнуюфункцию, котораявпервомприближениисоответствуетфункцииБесселя, апобольшомусчетуПси-функцииШредингера.
Выглядитонаприблизительноследующимобразом:


Еслиточкузакрепленияпринятьзаначалоотсчета, асерединуструныза100%, томаксимумвосприимчивостипо1-ойгармоникебудетсоответствовать100%, по2-й-50%, по3-ей-33%ит.д.
Посмотрим, гдебудетнашафункцияпересекатьосьабсцисс.
62%38%23. 6%14. 6%9%5,6%3. 44%2. 13%1. 31%0. 81%0. 5%0. 31%0. 19%0. 12%…
Этопропорциязолотоговурфа. Каждоеследующеечислов0. 618разотличаетсяотпредыдущего. Получилосьследующее:
Возбуждениеструнывточке, делящейеевотношениизолотогосеченияначастотеблизкойкосновнойгармонике, невызоветколебанийструны, т. е. точказолотогосечения-этоточкакомпенсации, демпфирования.
Длядемпфированиянаболеевысокихчастотах, кпримеруна4-ойгармонике, точкукомпенсациинужновыбратьв4-омпересечениифункциисосьюабсцисс.
Еслимысоздадимпрямоугольныйплоскийрезонаторэлектромагнитныхколебаний, стороныкоторогоотносятсявпропорциизолотогосечения, токолебаниявтакомрезонаторебудутразделеныподвумстепенямсвободы, т.к. колебаниявдольбольшейсторонынесмогутвозбудитьколебанийвдольменьшейстороны, т.к. дляменьшейстороныдлинабольшейсторонысоответствуетточкекомпенсации.
Теперьстановитсяпонятнойпричина, побудившаясоздатьпрямоугольныеячейкиспропорциейзолотогосеченияналетательныхаппаратахсэлектромагнитнымиисточникамиэнергии. Этопозволилосориентироватьэлектромагнитныеколебанияпонужномунаправлению (вертикальноилигоризонтально). Далее, этипропорцииужебылиотраженывархитектурекультовыхсооруженийисталиканонамиискусства.





11. Золотоесечениевскульптуре


Скульптурныесооружения, памятникивоздвигаются, чтобыувековечитьзнаменательныесобытия, сохранитьвпамятипотомковименапрославленныхлюдей, ихподвигиидеяния.
Известно, чтоещевдревностиосновускульптурысоставлялатеорияпропорций. Отношениячастейчеловеческоготеласвязывалисьсформулойзолотогосечения.
Пропорции"золотогосечения"создаютвпечатлениегармониикрасоты, поэтому

скульпторыиспользовалиихвсвоихпроизведениях.
Скульпторыутверждают, чтоталияделитсовершенноечеловеческоетеловотношении"золотогосечения". Так, например, знаменитаястатуяАполлонаБельведерскогосостоитизчастей, делящихсяпозолотымотношениям.
ВеликийдревнегреческийскульпторФидийчастоиспользовал"золотоесечение"в

своихпроизведениях. СамымизнаменитымиизнихбылистатуяЗевсаОлимпийского (котораясчиталасьоднимизчудессвета)иАфиныПарфенос.
Измерениянесколькихтысяччеловеческихтелпозволилиобнаружить, чтодлявзрослыхмужчинэтоотношениеравно=1,625,адлявзрослыхженщиноносоставляет=1,6. Такчтопропорциимужчинближек"золотомусечению", чемпропорцииженщин. Былопроведенобольшоечислоизмеренийнапомещенныхвжурналахкрупныхпортретахмужчиниженщин, намногихизнихуказанныеотношенияпредставляют"золотоесечение".




12. Золотоесечениевархитектуре


Вкнигахо"золотомсечении"можнонайтизамечаниеотом, чтовархитектуре, какивживописи, всезависитотположениянаблюдателя, ичто, еслинекоторыепропорциивзданиисоднойстороныкажутсяобразующими"золотоесечение", тосдругихточекзренияонибудутвыглядетьиначе. «Золотоесечение"даетнаиболееспокойноесоотношениеразмеровтехилииныхдлин.

ОднимизкрасивейшихпроизведенийдревнегреческойархитектурыявляетсяПарфенон (V в. дон. э.).
Парфенонимеет8колоннпокороткимсторонами17подлинным. выступысделаныцеликомизквадратовпентилейскогомрамора. Благородствоматериала, изкоторогопостроенхрам, позволилоограничитьприменениеобычнойвгреческойархитектурераскраски, онатолькоподчеркиваетдеталииобразуетцветнойфон (синийикрасный)дляскульптуры. Отношениевысотызданиякегодлинеравно0,618. ЕслипроизвестиделениеПарфенонапо"золотомусечению», тополучимтеилииныевыступыфасада.
ДругимпримеромизархитектурыдревностиявляетсяПантеон.
ИзвестныйрусскийархитекторМ. Казаковвсвоемтворчествеширокоиспользовал"золотоесечение".

Еготалантбылмногогранным, новбольшейстепенионраскрылсявмногочисленныхосуществленныхпроектахжилыхдомовиусадеб. Например,"золотоесечение"можнообнаружитьвархитектурезданиясенатавКремле. ПопроектуМ. КазаковавМосквебылапостроенаГолицынскаябольница, котораявнастоящеевремяназываетсяПервойклиническойбольницейимениН.И. Пирогова (Ленинскийпроспект, д. 5).


ЕщеодинархитектурныйшедеврМосквы-домПашкова-являетсяоднимизнаиболеесовершенныхпроизведенийархитектурыВ. Баженова.
ПрекрасноетворениеВ. БаженовапрочновошловансамбльцентрасовременнойМосквы, обогатилоего. Наружныйвиддомасохранилсяпочтибезизмененийдонашихдней, несмотрянато, чтоонсильнообгорелв1812 г.
Привосстановлениизданиеприобрелоболеемассивныеформы. Несохраниласьивнутренняяпланировказдания, окоторойдаютпредставлениятолькочертежнижнегоэтажа.
Многиевысказываниязодчегозаслуживаютвниманиеивнашидни. ОсвоемлюбимомискусствеВ. Баженовговорил:"Архитектура-главнейшиеимееттрипредмета:красоту, спокойностьипрочностьздания… Кдостижениюсегослужитруководствомзнаниепропорции, перспектива, механикаиливообщефизика, авсемимобщимвождемявляетсярассудок".


13. Золотоесечениевживописи

Переходякпримерам"золотогосечения"вживописи, нельзянеостановитьсвоеговниманиянатворчествеЛеонардодаВинчи. Еголичность-однаиззагадокистории. СамЛеонардодаВинчиговорил:"Пустьникто, небудучиматематиком, недерзнетчитатьмоитруды".
Онснискалславунепревзойденногохудожника, великогоученого, гения, предвосхитившегомногиеизобретения, которыенебылиосуществленывплотьдоXX в.

Нетсомнений, чтоЛеонардодаВинчибылвеликимхудожником, этопризнавалиужеегосовременники, ноеголичностьидеятельностьостанутсяпокрытымитайной, таккаконоставилпотомкамнесвязноеизложениесвоихидей, алишьмногочисленныерукописныенаброски, заметки, вкоторыхговорится"обовсемнасвете".
Онписалсправаналевонеразборчивымпочеркомилевойрукой. Этосамыйизвестныйизсуществующихобразецзеркальногописьма.
ПортретМонныЛизы (Джоконды)долгиегодыпривлекаетвниманиеисследователей, которыеобнаружили, чтокомпозициярисункаосновананазолотыхтреугольниках, являющихсячастямиправильногозвездчатогопятиугольника. Существуеточеньмноговерсийобисторииэтогопортрета. Вотоднаизних.
ОднаждыЛеонардодаВинчиполучилзаказотбанкираФранческоделеДжокондонаписатьпортретмолодойженщины, женыбанкира, МонныЛизы. Женщинанебылакрасива, новнейпривлекалапростотаиестественностьоблика. Леонардосогласилсяписатьпортрет. Егомодельбылапечальнойигрустной, ноЛеонардорассказалейсказку, услышавкоторую, онасталаживойиинтересной.

Сказка
Жил-былодинбедныйчеловек, былоунегочетыресына: триумных, аодинизнихитак, исяк. Ивотпришлазаотцомсмерть. Передтем, какрасстатьсясжизнью, онпозвалксебедетейисказал:"Сынымои, скорояумру. Кактольковысхоронитеменя, запритехижинуиидитенакрайсветадобыватьсебесчастья. Пустькаждыйизвасчему-нибудьнаучится, чтобымогкормитьсамсебя". Отецумер, асыновьяразошлисьпосвету, договорившисьспустятригодавернутьсянаполянуроднойрощи.
Пришелпервыйбрат, которыйнаучилсяплотничать, срубилдеревоиобтесалего, сделализнегоженщину, отошелнемногоиждет. Вернулсявторойбрат, увиделдеревяннуюженщинуи, таккаконбылпортной, воднуминутуоделее: какискусныймастеронсшилдлянеекрасивуюшелковуюодежду. Третийсынукрасилженщинузолотомидрагоценнымикамнями-ведьонбылювелир. Наконец, пришелчетвертыйбрат. Оннеумелплотничатьишить, онумелтолькослушать, чтоговоритземля, деревья, травы, зверииптицы, зналходнебесныхтелиещеумелпетьчудесныепесни. Онзапелпесню, откоторойзаплакалипритаившиесязакустамибратья. Песнейэтойоноживилженщину, онаулыбнуласьивздохнула.
Братьябросилиськнейикаждыйкричалодноитоже: «Тыдолжнабытьмоейженой». Ноженщинаответила:"Тыменясоздал-будьмнеотцом. Тыменяодел, атыукрасил-будьтемнебратьями. Аты, чтовдохнулвменядушуинаучилрадоватьсяжизни, тыодинмненуженнавсюжизнь".
Кончивсказку, ЛеонардовзглянулнаМоннуЛизу, еелицоозарилосьсветом, глазасияли. Потом, точнопробудившисьотсна, онавздохнула, провелаполицурукойибезсловпошланасвоеместо, сложиларукиипринялаобычнуюпозу. Ноделобылосделано-художникпробудилравнодушнуюстатую;улыбкаблаженства, медленноисчезаясеелица, осталасьвуголкахртаитрепетала, придаваялицуизумительное, загадочноеичутьлукавоевыражение, какучеловека, которыйузналтайнуи, бережноеехраня, неможетсдержатьторжество.
Леонардомолчаработал, боясьупуститьэтотмомент, этотлучсолнца, осветившийегоскучнуюмодель…
Трудноотметить, чтозамечаливэтомшедевреискусства, новсеговорилиотомглубокомзнанииЛеонардостроениячеловеческоготела, благодарякоторомуемуудалосьуловитьэту, какбызагадочную, улыбку. Говорилиовыразительностиотдельныхчастейкартиныиопейзаже, небываломспутникепортрета. Толковалиоестественностивыражения, опростотепозы, окрасотерук. Художниксделалещенебывалое: накартинеизображенвоздух, онокутываетфигурупрозрачнойдымкой.
Несмотрянауспех, Леонардобылмрачен, положениевоФлоренциипоказалосьхудожникутягостным, онсобралсявдорогу. Непомоглиемунапоминанияонахлынувшихзаказах.

ЗолотоесечениевкартинеИ.И. Шишкина «Сосноваяроща «
НаэтойзнаменитойкартинеИ.И. Шишкинасочевидностьюпросматриваютсямотивызолотогосечения. Яркоосвещеннаясолнцемсосна (стоящаянапервомплане)делитдлинукартиныпозолотомусечению. Справаотсосны-освещенныйсолнцемпригорок. Онделитпозолотомусечениюправуючастькартиныпогоризонтали. Слеваотглавнойсоснынаходитсямножествососен-прижеланииможносуспехомпродолжитьделениекартиныпозолотомусечениюидальше.


Наличиевкартинеяркихвертикалейигоризонталей, делящихеевотношениизолотогосечения, придаетейхарактеруравновешенностииспокойствия, всоответствиисзамысломхудожника. Когдажезамыселхудожникаиной, если, скажем, онсоздаеткартинусбурноразвивающимсядействием, подобнаягеометрическаясхемакомпозиции (спреобладаниемвертикалейигоризонталей)становитсянеприемлемой.

ЗолотоесечениевкартинеЛеонардодаВинчи «Джоконда «

ПортретМоныЛизыпривлекаеттем, чтокомпозициярисункапостроенана «золотыхтреугольниках «(точнеенатреугольниках, являющихсякускамиправильногозвездчатогопятиугольника).




ЗолотаяспиральвкартинеРафаэля «Избиениемладенцев «

Вотличииотзолотогосеченияощущениединамики, волненияпроявляется, пожалуй, сильнейвсеговдругойпростойгеометрическойфигуре-спирали.
Многофигурнаякомпозиция, выполненнаяв1509−1510годахРафаэлем, когдапрославленныйживописецсоздавалсвоифрескивВатикане, какразотличаетсядинамизмомидраматизмомсюжета. Рафаэльтакинедовелсвойзамыселдозавершения, однако, егоэскизбылгравированнеизвестнымитальянскимграфикомМаркантиниоРаймонди, которыйнаосновеэтогоэскизаисоздалгравюру «Избиениемладенцев ».

НаподготовительномэскизеРафаэляпроведеныкрасныелинии, идущиеотсмысловогоцентракомпозиции-точки, гдепальцывоинасомкнулисьвокруглодыжкиребенка,-вдольфигурребенка, женщины, прижимающейегоксебе, воинасзанесенныммячомизатемвдольфигуртакойжегруппывправойчастиэскиза. Еслиестественнымобразомсоединитьэтикускикривойпунктиром, тосоченьбольшойточностьюполучается… золотаяспираль! Этоможнопроверить, измеряяотношениедлинотрезков, высекаемыхспиральюнапрямых, проходящихчерезначалокривой.
Мынезнаем, рисоваллинасамомделеРафаэльзолотуюспиральприсозданиикомпозиции «Избиениемладенцев «илитолько «відчував «ее. Однакосуверенностьюможносказать, чтограверРаймондиэтуспиральувидел. Обэтомсвидетельствуютдобавленныеимновыеэлементыкомпозиции, подчеркивающиеразворотспираливтехместах, гдеонаунасобозначеналишьпунктиром. ЭтиэлементыможноувидетьнаокончательнойгравюреРаймонди: аркамоста, идущаяотголовыженщины,-влевойчастикомпозицииилежащеетелоребенка-веецентре. ПервоначальнуюкомпозициюРафаэльвыполнилврассветесвоихтворческихсил, когдаонсоздавалсвоинаиболеесовершенныетворения. ГлавашколыромантизмафранцузскийхудожникЭженДелакруа (1798−1863)писалонем: «Всочетаниивсехчудесграцииипростоты, познанийиинстинктавкомпозицииРафаэльдостигтакогосовершенства, вкоторомснимещениктонесравнился.
Всамыхпростых, какивсамыхвеличественных, композицияхповсюдуегоумвноситвместесжизньюидвижениемсовершенныхпорядоквчарующуюгармонию ». Вкомпозиции «Избиениемладенцев «оченьяркопроявляютсяэтичертывеликогомастера. Внейпрекрасносочетаютсядинамизмигармония. ЭтомусочетаниюспособствуетвыборзолотойспирализакомпозиционнуюосновурисункаРафаэля: динамизмемупридаетвихревойхарактерспирали, агармоничность-выборзолотогосечениякакпропорции, определяющейразвертываниеспирали.
14. «Необходимопрекрасномузданиюбытьпостроеннымподобнохорошосложенномучеловеку «
(ПавелФлоренский)


Можноли"поверитьалгебройгармонию»?"Да»,-считалЛеонардоиуказал, какэтосделать. «Золотоесечение"-несередина, апропорция-несложноематематическоесоотношение, содержащеевсебе"законзвездыиформулуцветка», рисунокнахитиновомпокровеживотных, длинуветвейдерева, пропорциичеловеческоготела. Видишьгармоничнуюкомпозицию, пропорциональноетелосложениеилиздание, радующееглаз,-измерьипридешькоднойитойжеформуле. ВовременаВозрождениядляпроверки"законагармонии"измерялиантичныестатуи, полторавеканазадпропорции"золотогосечения"проверяли, соотносядлинуногиитуловищагвардейскихсолдат,-всесовершенноточно.
ХудожникАлександрПанкинисследуетзаконыкрасоты… назнаменитыхквадратахКазимираМалевича.
-Вначале80-хналекцииоМалевичепросятпоказатьслайд"Черногоквадрата». Послетогокакизображениепоявляетсянаэкране, лекторстрогопроизносит:"Переверните, пожалуйста». Мысмеялись: труднопонятьпростомучеловеку, зачемтакоерисовать. Этокрасиво?
-ИсследуякартиныМалевичасциркулемислинейкой, япришелквыводу, чтоониудивительногармоничны. Здесьнетниодногослучайногоэлемента. Взявединственныйотрезок,-скажем, размерхолстаилисторонуквадрата,-можнопооднойформулевыстроитьвсюкартину. Естьквадраты, всеэлементыкоторыхсоотносятсявпропорции"золотогосечения», азнаменитый"Черныйквадрат"нарисованвпропорцииквадратногокорняиздвух.
-Авырисуетеэтипропорциинаполяхдляполногосходствасошкольнойзадачейпогеометрии?
-То, чемязанимаюсь, можноназвать"объективнымискусством». Напервыйвзглядкакоежеэтотворчество, еслинеставитсязадачавыразитьсвоюиндивидуальность? Существуетдажетакоевыражение-«художникузнаваем». Нояобнаружилудивительнуюзакономерность: чемменьшестремлениясамовыразиться, тембольшетворчества. Там, гдерамкислишкомшироки, гдевсеможно, мыпостепенноприходимктому, чтолюдиначинаютпортитьполотна (скажем, БренерподошелккартинеМалевичасбаллончикомкраски), некоторыеиконырежутиговорят:"Аятаквижу». Важенканон. Неслучайновиконописионтакстрогособлюдается. Длятворчествалучшененастежьоткрытыедвери, ачтобынадобылопролезатьвщель. Меняинтересуетформа, каконаобразуетсяиразвиваетсясамапосебе.
-Этожекомпьютерныйалгоритм, причемтутживопись?
-В1918годуМалевичсказал, чтоживописькончилась,-осталасьтолькогеометрия. Втомгодуоннарисовалбелыйквадратнабеломфоне. Нопотомслучилось"возвращениеМалевичанаЗемлю», егоживописьопредметилась. Науканепоглотилаискусство, новтеисторическиепериоды, когдагеометрияиискусствосближались, этодавалоимпульскразвитиютогоидругого. ТакбылововременаВозрождения, когдаЛеонардоисследовалпропорции"золотогосечения», ивначалеХХвека, когдаПольСезаннсказал:"Трактуйтеприродупосредствомцилиндра, шара, конуса». Еслиимпрессионистырисовалинечтоличное, изменчивое, токубистов, наоборот, интересовалформообразующийэлемент-каркас. Сейчаспроходятконференции"Математикаиискусство"исеминары, гдевстречаютсяученыеихудожники, случаютсянастоящиеоткрытия. СовременЛеонардоизвестентакназываемыйчисловойрядФибоначчи:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34… Это"золотая"последовательностьчисел, поэтомузаконурасполагаютсялистьяцветкаисемечкивподсолнухе. Яизобразилэтотряднаплоскостиввидетреугольников. Получиласьудивительнаявещь. ЧленырядаФибоначчиоченьбыстрорастут: треугольникпревращалсявстрелу, двестороныуходятвбесконечность, аодинизкатетоввсевремяостаетсяравнымпяти! Доэтогоянепонимал, чтотакое"конечнаябесконечность»!Посмотревнаэтукартину, профессорАлександрЗенкинматематическидоказал: такаясистематреугольников-этоядрорядаФибоначчи. Обнаружилсяновыйматематическийобъект!
-ТреугольникиПанкина?
-Наодномсеминаребылипредложениятакихиназвать, потомучтоэтуматематическуюзакономерностьпочему-тораньшениктонезамечал.
-Можетбыть, выисследуетегармониюМалевичанепотому, чтовидитевеготворчествеособыйсмысл, апотому, чтодругиекартинысложнееподформулуподогнать?
-Почемуже!Последнеевремямнехочетсятакжеисследовать"Незнакомку"Крамского. Япосмотрел: тамтожевосновележит"золотоесечение». Тежеправилаизакономерности, которыеянащупалвкартинахМалевича, можноприложитьикдругимкартинам, оченьинтересныевещиполучатся. КартиныМалевича-этокраеугольныйкаменьформообразования, мимонегонельзяпройти. «Черныйквадрат"-точкаотсчета, космическаяворонка, кудаискусствопопадаетивыходитизмененным. Появляютсяновыепространства. УпередвижниковилиунатуралистовтипаШиловакартина-этоокно, закоторымвобычнойпрямойперспективерасполагаютсятрехмерныеобъекты. УСезаннапространствалежатнахолсте. Виконаходновременноприсутствуютдветочкизрения: смотришьсосвоегоместаиодновременнобудтонаходишьсявнутрипроисходящего. Пространствоопредмечивается, незряиконамненужнырамки. Мнекажется, вбудущемпространствокартиныбудетлежатьнезахолстом, апередним…
-Недавновмагазинеяувиделаплакатс"Чернымквадратом». Обрадоваласьикупила, хотелаповеситьдома, апотомпередумала. Неуютноспать, когданадкроватью"Черныйквадрат"висит. АвыхотелибыусебянадкроватьюповеситьквадратМалевича?
-Честноговоря, уменянадкроватьюмоикартинывисят, ониуменявсюдувисят. Ахотелбы… наверное, Иванова-«ЯвлениеХристанароду». Удивительнаякомпозиция-фигураХриставцентреиотнеебудтолучирасходятся. Раньшеяпочему-тоэтогонезамечал…


15. Закономерностипостроенияпространственнойкомпозициипарка

Соотношенияпарковыхобъемныхформ

Соотношенияобъемныхэлементовпарка-декоративнойдревеснойикустарниковойрастительности, малыхархитектурныхформ, фонтанов, террас-образуюткомпозициюобъемныхформ. Композицияформыможетбытьтрехвидов: фронтальной, объемнойиглубинно-пространственной. Фронтальнаякомпозицияхарактеризуетсяпреобладаниемгоризонтальныхивертикальныхэлементовнадглубинойформы, приобъемной-всетриизмеренияимеютпримерноодинаковозначение, априглубинно-пространственной-плоскостииобъемыорганизуюттак, чтобывсевидыипанорамыраскрывалисьпопринципувозрастающейэмоциональнойнагрузки. Композицияпаркадолжнаиметьчеткуювнутреннююпространственнуюориентацию, позволяющуюпосетителюлегконаходитькомпозиционныецентры. Декоративнаядревеснаяикустарниковаярастительность, малыеархитектурныеформыидругиеобъемныеэлементысадово-парковойкомпозициинаходятсявопределенныхсоотношениях, которыеприрациональномихиспользованииусиливаютхудожественнуювыразительностьпарковыхпейзажей. Огромноеразнообразиесоотношенийформпарковыхэлементов, естественныхиискусственных, обусловливаетсявеличиной, геометрическимстроением, положениемвпространстве, освещенностью, цветом, фактурой. Ккомпозиционнымсредствам, используемымприформированиибольшихпарковыхпространств, относятсялинейнаяивоздушнаяперспективы, членениеглубинногопространства, синтезискусствидругие. Соотношениеформповеличине (высоте, ширине, длине). Величины «высота, ширина, длина «выражаютсявметрическойсистемеизаписываютсяцелымиилииррациональнымичислами. Совокупностьпространственныхсоотношенийвеличин, объединенныхопределеннойкомпозиционнойзависимостью, называетсяпропорцией. Нопонятиепропорциивсадово-парковомискусственельзяотождествлятьспонятиемпропорциявматематике. Пропорциитеснейшимобразомсвязанысрешениеконкретныхкомпозиционныхзадач, обусловленыхудожественнымвкусомикомпозиционнымопытомавтора. Спомощьюхудожественныхпропорцийможетбытьвыраженамонументальность, торжественность, или, наоборот, скромность, простота. Пропорциивсадово-парковойкомпозиции-этокакбыеевнутренняякрасота. Онаневидиманепосредственно, новсегдаощутима, подобнодуховнойкрасотечеловека. Внастоящеевремяхудожникичащевсегопользуютсядвумяпропорциональнымисоотношениями: модульнойсистемойпропорцийи «золотымсечением ». Основоймодульнойсистемыпроектированияявляетсянекотораяисходнаявеличина, котораяслужитмеройвсехчастейкомпозициииназываетсямодулем. Модуль-этонемерадлины, аразмеркакой-либочастисооружения. Например, ширинупарковойдорожкичастоопределяютпоколичествубетонныхплит, укладываемыхнанее, авысотудерева-ширинойегокроны. Универсальныммодулемпарковыхпространствявляетсячеловек. Интересноеусовершенствованиемодульнойсистемыпропорцийдляархитектуры (модулор)предложилвеликийфранцузЛеКорбюзье. Метр-этоцифрыбезреальногосодержания;сантиметр, дециметр, метр-этотолькообозначениядесятичнойсистемы. Цифрымодулора-этодействительныеразмеры. Они-факты. Ониявляютсярезультатомвыборамеждубесконечнымколичествомвеличин. Модулор-этотакаяизмерительнаясистема, восновукоторойположенчеловеческийростиматематика. (Рис. Стр. 122). Исходныеединицыизмерениявмодулоресвязанысусловнымчленениемростачеловека. Понятно, чтотакаяизмерительнаясистемаимеетособоезначениеприсозданиисадовипарков, тоестьспециальнооборудованныхместдляотдыхалюдей. Модулор-гамма, этоещенемузыка, ноправильноиспользуяэтусистемумодульныхпропорций, можнотворитьмузыкусадовипарков, музыкуприроды.
Модулор

ВмодулореЛеКорбюзьекаждоепоследующеечленениесвязаноспредыдущим «золотымсечением ». Поняття «золотогосечения «восходитизглубокойдревности. ВгеометрииЭвклидаоноопределенокакделениеотрезкавкрайнемисреднемотношениях, тоестьделениеотрезка, прикоторомвеличинабольшейегочастиявляетсясреднейпропорциональнойвсегоотрезкаиегоменьшейчасти. Введемобозначения: целое-С, большаячасть-а, меньшая-b. Правило «золотогосечения «выступиткаксоотношениеС/а=а/b. Этосоотношениеявляетсяиррациональным. Распространеннымидостаточноточнымвыражениемегоявляютсятакиевеличины: a=0,618;b=0,382. Приближенныецелочисленныезначения «золотогосечения «можнополучитьприпомощичиселрядаФибоначчи, вкоторомкаждоепоследующеечислоравносуммедвухпредыдущих: 1,2,3,5,8,13,21… Изэтихчислесоставляетсярядцелочисленныхотношений:1:2;2:3;3:5;5:8;8:13;13:21;…Вряду, начинаясотношения5:8,всепоследующиевыражает «золотоесечение ». Любоетело, предмет, вещь, геометрическаяфигура, соотношениекоторыхсоответствует «золотомусечению », отличаютсястрогойпропорциональностьюипроизводятнаиболееприятноезрительноевпечатление. Всадово-парковомискусствеприменениеправилпропорциональныхсоотношенийзатрудненовсвязистем, чторастительность, развиваясь, увеличивается. Но, темнеменее, соотношениявысотырастительнойгруппировкииплощадиэкспозиции, атакжерастенийвнутригруппировки, растительностииархитектурныхсооружений, шириндорожекицветников, мельчайшихдеталейкомпозициидолжныстроитьсявсоответствиисправиламиприменяемыхсистемпропорций.

«Золотоесечение «

Соотношенияформпогеометрическомустроению. Этоттипсоотношенийвозникаетприсопоставлениипрямолинейных (геометрических)икриволинейных (живописных)форм, тоестьприродныхиискусственныхформ. Соотношенияпогеометрическомустроениюхарактеризуютсяпонятиемпластичности, или, другимисловами, гармоничнымсоотношениемформилиний. Примеромпластическогорешениявсадово-парковомискусствеявляетсяумелаявертикальнаяпланировка, илигеопластика, спомощьюкоторойдостигаетсягармоническоесочетаниеособенностейрельефа, дорог, малыхархитектурныхформирастительности. Соотношенияформпоихположениювпространствепарка. Ониимеютрешающеезначениевсозданииглубинно-пространственнойкомпозиции, ибосадово-парковоестроительство-этоискусствобольшихпространств. Соотношенияэтоготипарегулируютсячередованиемоткрытыхизакрытыхпространств, глубиннымпостроениемпейзажей, линейнойивоздушнойперспективами. Открытиеизакрытиепространстваследуетчередовать. Приэтомнеобходимоучитывать, чтооткрытыепространствадействуютвозбуждающе, азакрытые-успокаивающе. Полноценноевосприятиепространствавдвиженииобеспечиваетсяприусловии, чтоегопротяженностьравна150−200м. Глубиннаямногоплановаякомпозиция, воспринимаемаясвидовойточки, называетсяпейзажемпарка. Наиболееэффектенпейзаж, которыйукладываетсявполенормальноговидения, тоестьвпределыконуса, образованноготреугольником, уголкоторогоравен15−18,5.
Впейзажеразличаютпередний, среднийидальнийпланы. Переднийплан-началоперспективы. Оночерчиваетсяалей, террасой, беседкой, видовойплощадкой, одиночнымидеревьямиилидревеснымигруппами. Среднийпланоформляетсяглавнымобразомопушкоймассива, древеснымигруппамиилиодиночнымидеревьями. Надальнемпланеобычнодоминируетхарактерныйобъект, декоративнаярастительнаягруппаилиопушкамассивасвертикальновыделяющимсясилуэтом. Силуэтвсадово-парковойкомпозиции-этоконтурноеочертаниедекоративныхрастительныхгруппировокнафоненебаилигородскойзастройки, воспринимаемоепространственноизвнеилиизнутри, новсегданадальнемплане. Паркбезвыразительногосилуэтабезликиуныл. Вертикальныеакцентыидоминантынеобходимыдлясозданиязапоминающегосяобразапарка, отличающегоегоотвсехдругих. Большоезначениеимеетоформлениевидовойточкипейзажа. Обычнообрамлениеперспективы, называемоерамкой, образуютзеленыекулисы. Длясосредоточениявниманиязрителянаопределенномпейзаженеобходимосозданиефокусапейзажа. Этоможетбытьактивноевэстетическомотношениидерево, садово-парковоесооружениеилидекоративныйэлемент. Взависимостиотвзаимногорасположенияразличныхплановперспективыпейзажимогутбытьмалой (50−100м), средней (100−400м)ибольшей (свыше500м)глубины.
Пейзажиразличнойглубинысоздаютнаосновезаконовлинейнойивоздушнойперспектив. Законамилинейнойперспективыобусловленыизменениявеличиныиформыпарковыхэлементовирастительныхгруппировоквзависимостиотрасстояниямеждузрителемиобъектом. Судалениемпредметыуменьшаютсявразмере, превращаясьвточкунагоризонте. Учитываяэто, можноуменьшатьилиувеличиватьглубинупарковогопейзажа, изменятьразмерыегоотдельныхэлементов. Использованиелинейноперспективывпостроениипарковыхкомпозицийограничено. Чащеееприменяютвпроцессепроектированиядляпространственногоизображенияпейзажей. Законамивоздушнойперспективыобусловленыизмененияяркостиосвещенияицветавзависимостиотрасстояниямеждунаблюдателемиразличнымипланамипарковогопейзажа. Яркостьцветаисветаизменяетсявсвязисзапыленностьювоздуха, имеющегослегкасиневатуюокраску. Мягкие, плавные, ссиневатымоттенкомэлементыпейзажаоптическиудаляютсяотнаблюдателя, ачеткие, контрастные, наоборот, кажутсяближе. Всетонаокраскирастительностииархитектурныхэлементовизменяютсявзависимостиоттолщиныслоявоздушногопространства: красныепереходятвфиолетовые, авдалиприобретаюттемно-синийцвет;желтыеболеепостоянны, носбольшимудалениемкажутсязеленоватыми, зеленыенарасстояниипереходятвголубые, итолькосинийцветостаетсябезизменения. Изменениецветапредметовназываетсяколоритнойперспективой.

Законылинейнойперспективы

Изучаязаконывоздушнойперспективы, мывплотнуюподошликсоотношениямформпоцвету. Цветовыесоотношениянеобычайноразнообразны, поэтомуихможноподразделитьнатриосновныхвида: поцветовомутону;понасыщенностицвета;посветлоститона. Соотношенияпоцветовомутонусоздаютсянаосновеусловногоразделенияспектранасемьчастей. Условного, потомучтоввидимойчастисолнечногоспектранетрезкихпереходовмеждутонами. Всеговспектреглазможетразличить130различныхоттенков, аделениенасемьчастейвозниклопоаналогииссемиступенчатостьюмузыкальнойгаммы. Основныхтоновтри (красный, желтыйисиний), остальныеявляютсядополнительными (оранжевый, голубой, фиолетовый, зеленый). Дляудобствацветарасполагаютвцветовомкруге. Цвета, находящиесядругпротивдруга, вцветовомкруге, создаютконтрастныесоотношения (красныйсзеленым, оранжевыйссиним, фиолетовыйсжелтым). Этисоотношениянаиболееэмоциональноэффектны. Мягкими, гармоничныминазываютсоотношенияцветов, которыевцветовомкругерасположены «черезодин «(красныйсжелтым, оранжевыйсзеленым, желтыйссиним, зеленыйсфиолетовым, фиолетовыйсоранжевым). Дисгармоничнымиявляютсясочетаниясоседнихцветов (зеленогоссиним, красногосоранжевымит.д.). Онинеприятны, иихследуетизбегать.
Физиологическиеипсихологическиевоздействиецветанаорганизмизвестноиздавна. Например, Гетесчитал, чтоцветадействуетнадушу, могутвызыватьчувства, пробуждатьэмоцииимысли, успокаиватьиливолновать, печалитьилирадовать. Поэмоциональномувоздействиюцветаразделяютнатеплые, илиактивные (красный, оранжевый, желтый), которыевозбуждающе, ихолодные, илипассивные (синий, зеленый, фиолетовый), которыеоказываютуспокаивающеевоздействие. Прииспользованиивпарковойперспективесоотношенийпоцветунеобходиморуководствоватьсятакимиправилами:
А) основнаяокраскарастительности-зеленыйтон, чтозатрудняетдостижениеколоритногоразнообразия, нонеисключаетиспользованиявсехоттенковрастительности: оттемно-зеленогодожелто-зеленого. Цветоваягаммадаетвозможностьподчеркнутьсоотношениепланов: переднего, среднегоидальнего (темно-зеленыйцветотдаляет, желто-зеленыйприближает);
Б) колоритныепятнавкомпозициипарковогопейзажадолжныбытьмаксимальноукрупнены, особенно, особенноприбольшомудалении;
В) прикомбинациивравноймеренасыщенныхцветовыхпятенцветовыесоотношениянеобходимобалансироватьразмерамипятен;
Г) теплыетонарастительности (красный, оранжевый) уместнынахорошоосвещенных;
Д) светло-серыйисеребристыйтонаиспользуютсядлясмягченияслишкомсильныхконтрастов;
Е) белыйцветгармонируетсовсемидругимицветами.
Соотношениеформпоосвещенности. Богатствоколоритныхсочетанийвпарковомпейзажепроявляетсятолькоприусловиихорошейосвещенности. Глубинаперспективы, пространственнаявыразительностьзеленыхнасаждений, соотношениеобъемныхформрастительныхгруппировокподчеркиваетсяигройсветаитени. Выразительностьигрысветаитенизависитотинтенсивностисолнечнойрадиации, отпериодагодаивременидня. Свет-главныйфактор, создающийигрусветаитени. Онпроявляетконтурырастительности, помогаетсоздаватьпластичныесоотношенияобъемов, выявлятьвпейзажесамыекрасивыеэлементы.
Неосвещеннаяповерхностьпредметаназываетсятенью. Значениетенивпарковомпространстве, особенновюжныхрайонах, труднопереоценить. Тениподразделяютсянасобственныеипадающие. Собственнаятеньнаходитсянатойчастиповерхностиосвещенногопредмета, котораяскрытаотпрямыхлучейисточникасвета. Тень, отбрасываемаяосвещеннымпредметомилиобразовывавшаясянаегоповерхностиотдругогопредмета, стоящегонапутисветовоголуча, называетсяпадающейтенью. Формападающейтенизависитотформыосвещенногопредмета, отбрасывающеготень, атакжерельефаповерхности, накоторуютеньпадает. Интенсивностьтенизависитотяркостисвета, плотностипредметаивзаимногорасположенияпредметов. Освещенные (обычнонавозвышенности)изатененные (внизинах)парковыепространстванеобходимогармоничнокомбинировать.
Динамичнаяиграсветотени-эффектноесредствоформированияпарка, влияющеенаразмещениерастительныхгруппировокималыхархитектурныхформ, насоотношениевысотырастительностииплощадиоткрытыхпространств. Наполянахнаиболееэффектнытениотконусообразныхимощныхажурныхкрон. Ширинаоткрытогопространстваприэтомдолжнабытьнеменеетрехкратнойвысотыдерева. Контрастностьсветотениопределяетсяудалениемпредметаотнаблюдателя. Цветтениобусловливаетсяцветомповерхности, накоторуюпадаеттень, нообычноонаимеетсинийоттенок. Вечероминочьюигрусветотенисоздаютискусственныеисточникисвета, обогащающиесветопластикуночногопейзажа. Специалистыпосветовойархитектурерассматриваютискусственныйсветкакполноценноекомпозиционноесредство. Зеленьможноподсвечиватьнесколькимиспособами: спомощьюламп, скрытыхвкронедеревьев, ламп, скрытыхвземле, прожекторовсзащитнымиэкранами. Дляподсветкидорогиобозначениягазоновицветниковустанавливаютнизкиесветильникивысотойдо1м, использующиеотраженныйсвет.
Соотношенияформпофактуре. Фактура, тоестьразличныеповерхностидекоративнойрастительности, можетбытьгладкойилишероховатой, зеркальнойилиматовой. Разнообразныесочетанияразличныхпофактурерастенийзначительнообогащаютпарковыепейзажи. Видысоотношенийпространственныхформнеисчерпываютсяперечисленнымивыше. Здесьописанытолькоосновныеизних. Ноипонимможносудитьобольшомразнообразиивидовсоотношенийпространственныхформ, являющихсядляпаркостроениясвоеобразнойпалитрой.
Литература:

1.Д. Пидоу. Геометрияиискусство. -М. :Мир, 1989.
3. Журнал"Квант», 1973,№ 8.
4. Журнал"Математикавшколе», 1994,№ 2;№ 3.
5. КеплерИ. Ошестиугольныхснежинках. -М., 1982.
6. КовалевФ.В. Золотоесечениевживописи.К. :Выщашкола, 1989.
7. ДюрерА. Дневники, письма, трактаты-Л., М., 1957.
8. Цеков-КарандашЦ. Овторомзолотомсечении. -София, 1983.
9. СтаховА. Кодызолотойпропорции.
10. Информацияизинтернета.



ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой