Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням

Тип роботи:
Реферат
Предмет:
Різне


Дізнатися вартість нової

Детальна інформація про роботу

Витяг з роботи

Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням


1. Вступ

У багатьох застосуваннях припускається, що на поведінку піддослідної системи не впливає жодна затримка в часі, тобто майбутній стан системи не залежить від попередніх станів і визначається лише теперішнім. У таких випадках динамічна система переважно моделюється звичайними диференціальними рівняннями. Однак при глибшому вивченні виявляється, що такий погляд — це лише перше наближення до дійсного стану і реальніша модель повинна включати минулі стани системи.

Крім того, деякі задачі повністю втрачають свій зміст без розгляду «попередньої історії». Ці положення були відомі й раніше, але теорія систем з післядією інтенсивно розвивається лише протягом останніх 50 років. Досягнення в галузі обчислювальної техніки є дуже важливими, оскільки теорія інтегрування, тобто аналітичного розв «язування, для систем з післядією не настільки успішна.

Перші системи, з якими зіткнулися дослідники, були біологічними. При дослідженні динаміки популяцій двох антагоністичних видів [7] використовувалися системи із запізненням. Р. Беллман [3] вивчав наслідки введення у кров хімічного розчину. Зауважимо, що рівняння, які описують цей процес, не є звичайними диференціальними рівняннями, оскільки повна циркуляція крові триває близько двох хвилин.

Мета цієї праці - проаналізувати систему імунного захисту організму, враховуючи запізнення в часі. Вперше модель імунного захисту людського організму була розроблена групою математиків і лікарів на чолі з Г.І. Марчуком. Як зазначає Г.І. Марчук [1], модель дала непогані результати при використанні її для лікування пневмонії та вірусного гепатиту.

2. Асимптотична стійкість

2.1. Головні результати теорії стійкості

Широке коло задач пов «язано з дослідженнями динаміки об «єктів, що описуються диференціальними рівняннями із запізненням:

Одним із найзагальніших методів дослідження стійкості таких задач є прямий метод Ляпунова. Використання такої методики для систем із післядією пов «язано з двома напрямками. Перший ґрунтується на скінченно-вимірних функціях Ляпунова і використовує теореми Б.С. Разуміхіна. Однак цей підхід має недолік: не доведено необхідності цих умов стійкості. Сенс диференціально-різницевих рівнянь полягає в нескінченно-вимірних просторах. Використання скінченно-вимірних функцій Ляпунова призводить до зайвих достатніх умов.

З цієї причини М. М. Красовський [8] запропонував підійти до вивчення стійкості з точки зору дослідження процесів у функціональних просторах. Як точку простору він запропонував розглядати не вектор

Тоді незбурений роз «язок

Тут

де

Доведення. Нехай

Тоді:

Розглянемо функціонал, що відображає

Згідно з умовами (3), існує

у сфері:

Розглянемо інтервал

Виберемо

3. Система імунного захисту

Наша подальша мета — отримати достатні умови стійкості в явному вигляді для наступної нелінійної системи:

Теорема 3.1. Нехай існують додатні константи

Тоді тривіальний розв «язок (22) є асимптотично стійким.

Доведення. Використаємо квадратичний функціонал вигляду:

Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо:

Маємо:

Взявши до уваги вигляд матриці

Показати Згорнути
Заповнити форму поточною роботою