Невласні інтеграли.
Поняття та різновиди невласних інтегралів

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Разное


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Невласні інтеграли

Поняття та різновиди невласних інтегралів

Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови:

1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;

2) підінтегральна функція f (x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.

Якщо не виконується перша умова, тобто b = x221E або, а = x221E або, а = -x221E та b = x221E, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.

називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f (х) визначена на проміжку [a; +x221E) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — x221E < a < b < +x221E. Тоді, якщо існує скінченна границя

(51)

її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

(52)

Таким чином, за означенням

(53)

У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f (x) — інтегровною на проміжку [а; +x221E).

Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f (х) — неінтегровною на [a; +x221E).

Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-x221E; b]:

(54)

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

(55)

де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с.

З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування.

Зауважимо, що коли функція f (x) неперервна і невід «ємна на проміжку [а; +x221E) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7. 12).

рис. 7. 12

Приклад.

Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:

а) За формулою (53) маємо

Отже інтеграл а) збігається.

Оскільки ця границя не існує при, а x2192 -x221E, то інтеграл б) розбіжний.

Отже інтеграл в) розбіжний,

= 1, то

x2260 1, то

x2264 1.

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.

Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +x221E) функції f (x) і g (x) неперервні і задовольняють умову 0×2264 f (x) x2264 g (x), то із збіжності інтеграла

(56)

випливає збіжність інтеграла

(57)

а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7. 13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграли:

:

збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.

:

розбігається.

Теорема 2. Якщо існує границя

,

то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.

Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 (f (x) x2264 g (х).

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл

збігається і

то заданий інтеграл також збігається.

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід «ємних функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.

.

Приклад

.

Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки

то заданий інтеграл збігається.

. Ця обставина виправдовує такі означення.

називають абсолютно збіжним, а функцію f (x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +x221E).

називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається.

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл

Оскільки

збігається.

на проміжку [0; +x221E) є абсолютно інтегровною.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

; тоді, якщо існує скінченна границя

(58)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

(59)

Отже, за означенням

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

— особлива точка (рис. 7. 15), то невласний інтеграл визначається так:

за означенням покладають (рис. 7. 16).

за означенням покладають

де с — довільна точка інтервалу (а; b).

Приклад

Обчислити невласні інтеграли:

Отже, інтеграл а) збіжний.

(1, то

= 1, то

(1.

Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою

(91)

, згідно з теоремою Чебишева (п. 1. 7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною.

Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл

(92)

> 0 збігається. Маємо

Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо

— 1, то

,

в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл частинами і враховуючи, що

).

= 1, то

(93)

інтегруючи частинами, дістанемо

звідки

Г (n +1) = nГ (n) (94)

N:

Г (n +1) = n!

N виражається через n! Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперервні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7. 35. Властивості гамма-функції досить добре вивчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].

Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:

= n і помножити її на n, дістанемо

(95)

Бета- і гамма-функції пов «язані між собою співвідношенням

(96)

Приклади

маємо

.

Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо

.

Маємо

згідно з формулою (96) дістанемо

Завдання для самоконтролю

Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра?

Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання та інтегрування Інтеграла, залежного від параметра.

).

N.

). Як пов «язані між собою бета- та гамма-функції?

Довести, що

.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой