Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах.
Площа поверхні

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Разное


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Пошукова робота на тему:

Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні.

План

Довжина дуги кривої в декартових і полярних координатах

Площа поверхні

Площа поверхні обертання

Площа циліндричної поверхні

10.3. Довжина дуги

, вже розглядалося в п. 9.1. Там була знайдена формула

(10. 9)

то

(10. 10)

, довжина дуги обчислюється за формулою

(10. 11)

дуги, кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ є хордою елемента дуги.

, матимемо

(10. 12)

Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатах можна записати як параметричні з параметром q:

і використавши формулу (10. 10).

.

Р о з в ' я з о к. Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис. 10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою (10. 12), одержимо

10.4. Площа поверхні

10.4.1. Площа поверхні обертання

Довжина дуги, що обмежує смужку зверху (рис. 10. 9),

. Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої висоти

звідки

(10. 7)

10.4.2. Площа циліндричної поверхні

. Нехай ця поверхня задана рівняннями

Рис. 10.9 Рис. 10. 10

Виділивши смужку так, як показано на рис. 10. 10, знайдемо її площу

(10. 8)

(рис. 10. 2), тонким циліндричним шаром (рис. 10. 3), що не вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б строго довести.

робить один оберт навколо великої осі і вдруге — навколо малої осі. Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.

Р о з в ' я з о к. Досить розглянути лише половину еліпса:

В результаті обертання навколо великої осі одержимо за (11. 7)

— ексцентриситет еліпса.

матимемо

У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл

В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой